Степень числа с иррациональным показателем
Тема 3.1. Степень с действительным показателем и ее свойства. Преобразование и вычисление показательных выражений. (4 часа) Степень числа с целым показателем. Вспомним свойства степеней. Для любых чисел и любых целых чисел выполнены равенства:
Выражение имеет смысл при всех целых и любых значениях , кроме и . Пример 1.а) выражения и т.д. определены. б) выражения не имеют смысла. Степень с рациональным показателем. Определение.Степенью числа с рациональным показательным (где - целое число, - натуральное ) называется число , т.е. . При этом степень числа определена только для положительных показателей, т.е. для любого . Пример 2 .По определению степени с рациональным показателем и свойствам корней получаем: . Замечания: 1) Для любого и любого рационального числа число . 2)По основному свойству дробей рациональное число можно записать в виде для любого натурального . Тогда значение степени не зависит от формы записи рационального числа, т.к. . 3) При рациональная степень числа не определена. Поясним на примере. Рассмотрим . С другой стороны, , и тогда . Получаем противоречие. Для приведенного определения степени с рациональным показателем выполняются все приведенные ранее основные свойства степеней, но только для положительных оснований. Итак, для любых рациональных чисел и и любых положительных чисел и справедливы равенства: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 6) если , то , при и при ; 7) если , то при и при .
Степень числа с иррациональным показателем. Определим теперь степень числа с иррациональным показателем, и тогда степень числа будет определена для произвольного действительного показателя. Пример 3 . Обсудим, что понимается под числом . Число является иррациональным числом и может представлено в виде бесконечной десятичной дроби: где и - цифры целой и дробной части числа соответственно. Очевидно, что , где рациональное приближение числа с избытком - рациональное приближение числа с недостатком. Для значащих цифр разница между приближением с избытком и приближением с недостатком составляет величину и уменьшается с увеличением числа значащих цифр. Это позволяет оценить иррациональное число сколь угодно точно рациональными числами . Так как понятие степени с рациональным показателем было уже введено, то число удовлетворяет неравенству: .
С увеличением число может быть оценено сколь угодно точночислами . При больших можно считать , что , что и считается степенью числа с иррациональным показателем. Определение.Степенью числа положительного числа с иррациональным показателем называется предел числовой последовательности степеней этого числа с рациональными показателями являющимися – значными приближениями числа по недостатку или избытку: . После введенного определениястепень числа с произвольным действительным показателем определена. Пример 4 .
Контрольные вопросы 1. Дать определение степени числа с рациональным показателем. 2. В каком случае определена степень числа 0? 3. Перечислите основные свойства степеней. 4. Поясните понятие степени с иррациональным показателем.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1368)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |