Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Пусть гладкая дуга АВ задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), z=z(t),где α ≤ t ≤ β. Кроме того, на этой дуге определены и непрерывны функции f(x,y,z), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), тогда криволинейные интегралы могут быть вычислены следующим образом: а) криволинейный интеграл 1-го рода: б) криволинейный интеграл 2-го рода:
*********************** Криволинейный интеграл второго рода, его свойства.
Пусть АВ - дуга гладкой кривой (рис. 3.2), на которой определена и непрерывна векторная функция
Пусть λn- наибольшая из длин частичных дуг. Понятно, что если λn → 0, то n → ∞. 2) выберем произвольным образом точки Ni(xi, yi, zi) Δli (i=1,...,n); 3) организуем векторы и вычислим значения векторной функции в точках Ni (i = 1, ..., n), т. е. (Ni)=(P(Ni), Q(Ni), R(Ni)); 4) составим интегральную сумму вида
Конечный предел интегральной суммы βn при λn → 0, если он существует и не зависит от способа деления дуги АВ на частичные дуги и от способа выбора точек Ni Δi (i=1,...,n), называется криволинейным интегралом второго рода (по координатам) от векторной функции =(P,Q,R) по дуге АВ в направлении от А к B и обозначается: Из построения интеграла (3.3) очевидно, что при изменении направления обхода дуги АВ интеграл меняет знак, т. е.
Если дуга АВ гладкая, и функция = (P,Q,R) непрерывна на ней, то интеграл (3.3) существует. Можно сформулировать более сильные условия существования криволинейного интеграла по координатам.
******************************** Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически. Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда , , . Если обозначить за касательный вектор к кривой l, то нетрудно показать, что Формула Грина Формула Грина связывает двойной интеграл по плоской области с криволинейным интегралом по контуру этой области. Пусть функции P(x,y), Q(x,y), P'y(х,у), Q'x(х,у) непрерывны в замкнутой области D, ограниченной контуром L (рис. 3.6). Пусть контур L, кроме того, пересекается прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках. Пусть уравнение АСВ есть y = y1(x) при a ≤ x ≤ b, и уравнение АКВ есть y = y2(x)при a ≤ x ≤ b. Преобразуем двойной интеграл здесь символ означает криволинейный интеграл по замкнутому контуру L.
В формулах (3.8), (3.9) и (3.10) направление обхода контура - положительное (против часовой стрелки), т. е. область D при движении по контуру L всё время остается слева. Для этого достаточно подобрать P(x,y) и Q(х,y) такими, чтобы в области D выполнялось условие , тогда двойной интеграл в формуле (3.10) будет давать величину S площади области D. Например:
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (631)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |