Линейные диф. Уравнения первого порядка
Задания, приводящие к диф. Уравнениям. Основные определения Множество задач науки и техники. Например задача о вертикальном падении тела под действием сил тяжести и сопротивления среды. R = kV, где – коэффициент пропорциональности, который определяется опытным путём и считается известным. Нужно найти закон изменения модуля скорости ( v=ϕ(t)) тела с течением времени (t). P= mg. m = . Проецируя на ось Y получаем may=Py+Ry . Но ay= dVy /dt . m dVy/ dt=mg-kV . Дифференциальное уравнение – соотношение связывающее независимую переменную, функцию y=φ(x) и её производные …. Если в диф. Уравнении функция зависит от одного аргумента, то такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнений. Порядок диф. Уравнения – наивысший порядок производной искомой функции. Решение диф. Уравнения – всякая функция, подставляемая в уравнение и превращает его верное тождество. Например для решением является y = sin(x). 2. Геометрический смысл диф. Уравнения первого порядка. tgα = f(x,y) = Дифференциальному уравнению на плоскости Oxy отвечает поле направлений . – решение диф. Уравнения. Направление касательной к кривой в её точке (x;y) совпадает с направлением поля в этой точке. В любой точке интегральной кривой направление касательной к ней совпадает с направлением поля в этой точке. 3. Диф. Уравнение с разделёнными и разделяющимися переменными. y = φ(x) – искомая функция от x, M(x), N(y) – заданные непрерывные коэффициенты аргументы относительно соответственно x и y. По определению следовательно но диф. Уравнение первого порядка, следовательно и равносильное ему уравнение диф.уравнение первого порядка; такое уравнение называют диф. Уравнение с разделёнными переменными. Для его решения перейдём к и возьмём неопределённый интеграл от обеих частей уравнения по x что равнозначно и придём к F1(x) + F2(y)= C получив общий интеграл уравнения. Таким образом, чтобы получить общий интеграл, в уравнении с разделёнными переменными нужно функцию M(x) проинтегрировать по x, функцию N(y) – по y и полученную сумму приравнять C. 4. Однородные диф. Уравнения первого порядка. Однородное диф. Уравнение первого порядка – это диф. Уравнение первого порядка в которых правую часть f(x,y) можно представить в виде функции одного аргумента = y/x т.е. f(y/x) , , F – непрерывная функция аргумента y/x Представим y/x=U из этого вытекает что Представив это в виде и умножив это на dx получаем диф. Уравнение с разделёнными переменными Решая его получаем т.е. Ф(y/x) – ln(x) = C. При U(x)=U принимает вид и после интегрирования имеем . Итак y=C1x, при F(U)=U=y/x Линейные диф. Уравнения первого порядка. Линейные диф. Уравнения первого порядка это уравнения вида Где y=φ(x) – искомая функция , а p(x) и q(x) – заданные ,непрерывные на всё интервале x, функции от x. Введём две функции от x : U=U(x) , V=V(x) . И решение ищем через y=UV Получаем подставляя это в исходное уравнение получаем . Выберем функцию V(x) так ,чтобы сумма . Умножая на dx получаем уравнение с разделяющимися переменными dV+p(x)Vdx=0, решая его получаем Примем произвольную постоянную C1=0 и получим из чего получаем тогда V(x) = . Подставляя получимое в следовательно , после интегрирования получаем подставляем это в y=UV и имеем y = - решение исходного уравнения.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (530)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |