Парадоксальность биективных отображений
Парадокс: рассуждения абзаца (***) неверны, когда у множеств бесконечное число элементов. Скажем, пусть A = {1, 2, 3, ...} - множество натуральных чисел, B = {2, 4, 6...} - множество чётных чисел. Строим отображение f: A->B вот как: f(n) = 2n, то есть числу n из A ставим в соответствие число 2n из B (числу 1 из A соответствует 2 из B, числу 2 из A - 4 из B...). В A и B, очевидно, разное количество элементов, но биекция построена. Более того, построена биекция между множеством и его подмножеством. Объяснение этому может быть следующее: бесконечность не является конкретным числом, это некое размытое понятие. Соответственно она и не обязана иметь те же свойства, что и обычные числа. Скажем, бесконечность, делённая на любое конечное число, отличное от нуля (а не только на единицу), даст снова бесконечность. Если же обычное число так делить, то оно даст само себя только при делении на единицу. Шесть свойств отображений. Если f : X → Y и A1 ⊂ A2 ⊂ X, B1 ⊂ B2 ⊂ Y , то 1. f(A1) ⊂ f(A2), 2. f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2), 3. f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2), 4. (B1) ⊂ (B2), 5. (B1 ∪ B2) = (B1) ∪ (B2), 6. (B1 ∩ B2) = (B1) ∩ (B2) Отображение f : X → Y называется сюръективным или отображением на множество Y ,если Imf = Y . Другими словами, f сюръективно, если каждый элемент y ∈ Y имеет хотя бы один прообраз, т.е. ∀y ∈ Y ∃ x ∈ X : y = f(x). Отображение f : X → Y называется инъективным, если из условия x1 =6 x2 следует, что f(x1) =6 f(x2), т.е. различные элементы множества X должны иметь различные образы. Отображение называется биективным если оно одновременно сюръективно и инъективно. Пусть XY – произвольные множества, если каждому элементу x из множества X (x ∈ X) ставится в соответствие элемент y ∈ Y, то говорят, что на множестве X задано отображение со значениями во множестве Y.
2. Отображенное f: X→Y называется инъекцией, если для любых X Y X Y
Биекция также называется взаимно-однозначным отображением. a) Инъективным отображением множества X на множесто Y называется такое отображение, при котором двум различным элементам из множества X соответствуют различные элементы из множества Y. Другими словами инъективное отображение, если для любых выполнено .
Пусть f: X→Y а g:Y→Z, тогда композицией (произведением) отображений f и g называется новое отображение обозначается Билет 5.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (616)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |