Определение векторного пространства
Определение. Пусть имеется множество , на котором введена бинарная операция (отображение ). Пусть также определена операция умножения элементов множества на элементы, принадлежащие полю , , где (т.е. отображение ). Множество называется векторным пространством (или линейным пространством) над полем , если выполняются следующие условия: 1) - абелева группа относительно введенной бинарной операции , единичный элемент этой группы будем обозначать и называть нулевым вектором; 2) и справедливы равенства и ; 3) и имеет место равенство ; 4) выполняется равенство , где . Элементы векторного пространства называются векторами. Определение. Пусть некоторое подмножество обладает следующими свойствами: а) если , то и ; б) если , то и . Подмножество , являющееся векторным пространством, называется подпространством пространства . Нулевой вектор пространства и само пространство называют тривиальными подпространствами пространства . Все остальные подпространства пространства называются нетривиальными. Определение. Пусть и - два подпространства одного и того же векторного пространства . Множество всех векторов , принадлежащих одновременно подпространствам и , называется их пересечением. Множество всех векторов вида , где и , носит название суммы подпространств и . Как пересечение, так и сумма подпространств являются, в свою очередь, векторными пространствами - подпространствами пространства . Определение. Говорят, что пространство является прямой суммой своих подпространств , если: а) существует разложение ; б) это разложение единственно. В этом случае будем писать .
2. Линейная оболочка системы векторов, линейно независимые вектора, базис векторного пространства, координаты вектора, размерность пространства, преобразования базисов и координат. Пусть - некоторые векторы пространства . Полное множество векторов вида , где , называется линейной оболочкой системы векторов . Линейная оболочка векторов является векторным пространством (говорят, что векторное пространство «натянуто» на векторы ). Рассмотрим подпространство векторного пространства . Назовем вектор сравнимым с вектором (точнее, сравнимым относительно ), если , где . Отношение сравнения является отношением эквивалентности и позволяет разбить векторное пространство на взаимно непересекающиеся классы эквивалентности . Здесь - совокупность всех векторов пространства , сравнимых с вектором . Определенное таким образом множество классов эквивалентности обозначим . Введем на множестве бинарную операцию и правило умножение элементов этого множества на числа из поля . Введенные операции превращают множество в векторное пространство. Определение. Векторное пространство называется факторпространством пространства по подпространству . Заметим, что если - размерность пространства , а - размерность подпространства , то размерность факторпространства равна .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (443)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |