Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1). Опр. Первообразной для функции на интервале называют функцию , дифференцируемую на и удовлетворяющую условию . Отсюда следует, что функция , также является первообразной для функции на , т.к. Опр.Совокупность первообразных для данной функции на называют неопределенный интеграл и обозначают . называется подынтегральным выражением, -подынтегральной функцией. По определению . Нахождение первообразной для данной функции на называется интегрированием функции . Свойства:
3. 4. 5. Таблица неопределенных интегралов 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.
Замена переменной в неопределенном интеграле (2). Внесение под знак дифференциала
Замена переменной Сделаем подстановку . Причем она определена на , так, что существует обратная функция , определенная на и будем считать, что существует производная на . Тогда Если имеет первообразную , то , таким образом после замены переменной в неопределенном интеграле и нахождение у первообразной необходимо возвратиться к старой переменной. Доказательства:Продифференцируем соотношение по x, используя свойство (1) получим: , что и требовалось доказать. Пример: , т.е. на практике чаще приходится делать обратную подстановку Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3) Пусть функции определены и дифференцируемы на и пусть подынтегральное выражение может быть представлено в виде: , тогда Доказательство: продифференцируем и проинтегрируем по х. или . Отсюда Существует несколько классов функций, которые могут быть проинтегрированы этим методом: 1. Интегралы, содержащие одну из функций lnx, arcsinx и т. д. Такие интегралы берутся методом интегрирования по частям, причем через U обозначается одна из этих функций(аdV, то что осталось). 2. Интегралы вида ; ; интегрируются по частям при этом каждый раз в качестве U принимается многочлен. 3.Интегралы вида: , , ,
двукратное применение формулы интегрирование по частям в следствии получаем линейное уравнение относительно исходного интеграла а решая которое и находим искомый интеграл. Прим.: №1 №2 4. Существуют и другие типы неопределенных интегралов, которые могут быть вычислены применением формулы интегрирования по частям. Пример: Разложение рациональной дроби на простейшие (4). Отношение 2х мн-нов и наз. рац. дробью. – рац. дробь. m – порядок мн-на n – порядок мн-на Если , то рац. дробь наз. неправильной рац. др. – непр. рац. дробь. – пр. рац. дробь. Если же m < n, то рац. дробь – пр. рац. дробь. Любую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей вида: . Правильные рациональные
дроби вида I-IV называется простейшими рациональными дробями. Теорема № 1:Если многочлен Q(x) имеет корень а кратности , т. е. Q(x)=(x-a) , где Q1(a) 0, то правильная рациональная дробь можно представить в виде причем последняя дробь правильная. Доказательство:Запишем тождество определим const А таким образом чтобы многочлен делился на нацело т. е. А было корнем этого многочлена. (по теореме Безу) т. к. Q1(a) 0 и P(a) 0 то А определим однозначно следовательно подстановка выражения P(x)-AQ1(x)=(x-a)+P1(x) в тождество дает: Следствие № 1:К правильной рациональной дроби можно применить последовательно теорему № 1: Следствие № 2:Если Q1(x) имеет действительные корни, то к правильной рациональной дроби можно применить теорему № 1 и следствие № 1, т. е. если в правильной рациональной дроби многочлен имеет разложение , где не имеет действительных корней. - действительные числа, то разложим на сумму дробей I,II и правильную рациональную дробь . Аналогично теорема имеет место и в том случае когда многочлен имеет комплексно сопряженные корни , т. е. раскладываются на квадратные трехчлены , где . Теорема № 2: Если многочлен Q(x) имеет комплексно сопряженные корни a+bi кратности , т. е. имеют разложения вида Q(x)=(x2+px+q)Q1(x), где (не имеет действительных корней), а Q1(x) не делится на цело на x2+px+q, то правильная рациональная дробь можно представить в виде причем последняя дробь правильная. Доказательство:Как и при доказательстве теоремы № 1 стартуем с тождества коэффициенты M и N определены однозначно если потребовать чтобы многочлен P(x)-(Mx+N)Q1(x) делился на x2+px+q нацело т. е. по теореме Безу P(x)-(Mx+N)Q1(x)=( x2+px+q)P1(x) и P1(x) на x2+px+q нацело не делится. Подставляя это выражение в тождество получаем . Следствие № 3: К правильные рациональные дроби можно применить теорему № 2 в результате правильная рациональная дробь разложена на сумму дробей вида III, IV и правильная рациональная дробь со знаменателем Q1(x), , если многочлен Q1(x) делится на Q2(x), то к правильной рациональной дроби можно применить теорему № 2 и ее следствие № 3 т. о. Если многочлен Q(x) имеет разложение , то правильную рациональную дробь можно разложить используя теоремы № 1 и № 2 и их следствия на сумму простейших дробей вида I-IV.
Интегрирование рациональных функций (5-6). 1. Интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. 2. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей вида I-IV. Интегрирование правильной рациональной дроби:
Зная вычисляем К2, зная К2 вычисляем К3 и т. д. При разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей вида I-IV с неопределенными коэффициентами необходимо определить эти коэффициенты для этого используем метод неопределенных коэффициентов. Для того чтобы найти коэффициенты А1, А2, … , Мαs, Nαs и т.д. приведем правую часть к наименьшему общему знаменателю т. е. к Q(x), после этого приравняем коэффициенты стоящие при одинаковых степенях в левой и правой частях этих дробей в результате получаем систему линейных уравнений относительно этих коэффициентов решая которые находят эти коэффициенты. Замечание: Часть коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби на простые могут быть найдены более простым методом, методом вычеркивания, а именно коэффициенты при старших степенях x(x-ai) т. е. Аα1,.., Вα2
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (725)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |