Теорема о непрерывности дифференцируемой ФНП в точке
Понятие градиента. Свойства градиента (3 свойства доказать) Градие́нт (gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.
Пусть дана функция . U=f(x,y,z) определенная и дифференцируема в некоторой области Д. Градиентом функции называется вектор проекции которого на оси координат равны соответствующим частным производным. grad U=(∂U/∂х)i+(∂U/∂у)j+(∂U/∂z)k Линией уровня называется линия на которой функция принимает постоянное значение u(x,y)=с. Геометрический смысл градиента состоит в том что градиент указывает направление наибольшего изменения функции. Свойства градиента: 1. Производная по направлению имеет МАХ значение в направлении совпадающем с градиентом. 2. Производная в направлении ⊥ градиенту равно 0. 3. Градиент ⊥ линиям уровня. Доказательство: нету Теорема о необходимом условии существования локального экстремума функции двух Переменных. Если функция z = z(x;y) дифференцируема в точке M0(x0;y0) и имеет в этой точке локальный экстремум, то все частные производные первого порядка обращаются в этой точке в нуль: ∂Z / ∂Y = ∂Z / ∂X = 0 (в т. М0) Доказательство: Докажем, например, равенство нулю частной производной ∂Z / ∂X. Зафиксируем значения переменных Y, положив их соответственно равными Y0. Тогда функция z =z (x0;y0) является функцией одной переменной X; Эта функция имеет в точке X = X0 локальный экстремум и производную по аргументу X, которая и является частной производной ∂Z / ∂X. Напомним, что согласно теореме Ферма, если дифференцируемая функция одной переменной X имеет в точке X0 локальный экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю. Аналогично доказывается равенство нулю остальных частных производных.
Теорема: необходимый признак дифференцируемости ФНП (существование всех частных Производных). Если функция u = f(M) = (x1, x2,.., xm) дифференцируема в т. M0(x10, x20,.., xm0), то существуют частные производные ∂U / ∂Xi , (i = 1,..,m) причем Ai = ∂U / ∂Xi * (x10, x20,.., xm0)
Доказательство: Докажем, что в т. M0(x10, x20,.., xm0) существует ∂U / ∂X1 = A1 ∆X2 = ∆X3 = ∆Xm = 0. f(X10+∆X1, X20, Xm0) – f(x10,…,Xm0) = A1 * ∆X1 + E(∆X1, 0, …, 0) * (∆X1)^2, но lim E(∆X1,…, ∆Xm) = 0 (∆X1 -> 0; ∆Xm -> 0);
Значит, lim E(∆X1, 0, …, 0) =0 (аналог предела по направлению для функции m переменных) – = + , где .
( – )/ Тогда в пределе при существует что и требовалось доказать.
Теорема о дифференцируемости параметрически заданной функции ФНП. Нету и не надо Теорема о непрерывности дифференцируемой ФНП в точке. Если – дифференцируемая в точке ФНП, то она Доказательство: По определению дифференцируемости ФНП в точке имеем , где , . При , т.е. при , имеем , т.е. , что подтверждает непрерывность ФНП в точке .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (986)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |