Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши
Теорема о «сжатой переменной» для последовательностей. Теорема (принцип сжатой последовательности,). Пусть даны последовательности и существует : : , . Известно, что . Тогда . Док-во:Возьмем произвольный промежуток . Обозначим . Тогда Значит, . Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. Теорема. Последовательность { n }, n 0 является бесконечно малой последовательностью тогда и только тогда, когда последовательность является бесконечно большой. Доказательство следует из того факта, что неравенство равносильно неравенству и определений бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. Лемма о вложенных отрезках. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одна точка c, принадлежащая всем отрезкам данной системы. Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю: то c — единственная общая точка всех отрезков данной системы. Доказательство:1)Существование общей точки. Множество левых концов отрезков {an} лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков {bn}, поскольку .В силу аксиомы непрерывности, существует точка c, разделяющая эти два множества, то есть в частности . Последнее неравенство означает, что c — общая точка всех отрезков данной системы. 2) Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки c и c', принадлежащие всем отрезкам системы: .Тогда для всех номеров n выполняются неравенства: . В силу условия стремления к нулю длин отрезков для любого для всех номеров n, начиная с некоторого будет выполняться неравенство: bn − an < E. Взяв в этом неравенстве , получим Противоречие. Лемма доказана полностью. Критерий Коши для последовательностей. Последовательность { xn } назовем последовательностью Коши или фундаментальной, если Теорема ( Критерий Коши ) Для того, чтобы последовательность { xn } сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной. Доказательство:Необходимость. Пусть {xn} сходится. Достаточность. Пусть {xn} - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и . Так как последовательность фундаментальна, то , в -окресности которой сущ-ют все элементы x1,x2,x3,...,xN − 1. Предположим, A = max{ | x1 | , | x2 | , | x3 | ,..., | xN − 1 | , | xn − ε | , | xn + ε | }. В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е. {xn} - ограниченна. В следствие теоремы Больцано-Вейерштрасса ( ) < (xn − ε;xn + ε). в силу произвольности . , Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши. Из Гейне - Коши.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (3289)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |