Краткие сведения об объекте моделирования
Лабораторная работа № 1 Изучение одноканальной замкнутой системы Цель работы
Изучение одноканальной замкнутой системы массового обслуживания (СМО) с неограниченным временем ожидания требований для нее и с простейшим потоком. Этот поток наиболее полно отвечает реалиям жизни и характеризуется следующими особенностями: • поступление требований в систему на обслуживание происходит по одному, то есть вероятность прибытия двух и более требований одновременно очень мала, и поэтому ею можно пренебречь (поток требований ординарный); • вероятность поступления последующих требований в любое время не зависит от возможности их прибытия ранее – поток требований без последействия; • поток требований стационарный.
Краткие сведения об объекте моделирования
Функционирование любой системы массового обслуживания можно представить через все возможные ее состояния и интенсивность перехода из одного состояния в другое. Основными параметрами функционирования системы массового обслуживания являются вероятности ее состояния, то есть возможности наличия n требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок) в системе – . Так, вероятность характеризует состояние, когда в системе нет требований и канал обслуживания простаивает. Важным параметром функционирования системы массового обслуживания является также среднее число требований, находящихся в системе , то есть в очереди на обслуживание, и средняя длина очереди . Исходными параметрами, характеризующими СМО, являются: число каналов обслуживания (касс, компьютеров, кранов, ремонтных бригад); число требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок), интенсивность поступления одного требования на обслуживание , то есть число поступлений требований в единицу времени; интенсивность обслуживания требований . Интенсивность поступления требования на обслуживание определяется как величина, обратная времени возвращения требования : . Интенсивность обслуживания требований определяется как величина, обратная времени обслуживания одного требования – : . Состояние системы массового обслуживания будем связывать с числом требований, находящихся в системе: · в системе нет ни одного требования – вероятность состояния ; · в системе находится одно требование – вероятность состояния ; · …………………………………………………………………….. · в системе находится требований – вероятность состояния . Представим все возможные состояния СМО в виде размеченного графа состояний (рис. 1.1). Каждый прямоугольник графа, количественно оцениваемый вероятностью состояний , определяет одно из всех возможных состояний. Стрелки указывают, в какое состояние система может перейти и с какой интенсивностью.
Рис. 1.1. Размеченный граф состояний одноканальной замкнутой системы Первый прямоугольник с вероятностью определяет состояние системы массового обслуживания, при котором канал обслуживания простаивает из-за отсутствия требований в ней. Из этого положения система массового обслуживания может перейти с интенсивностью только в состояние – тогда в системе появится одно требование, так как входной поток – ординарный. С интенсивностью и. система может перейти также из состояния в состояние ; когда в системе находилось одно требование, но оно было обслужено раньше, чем появилось новое. Из состояния система массового обслуживания может перейти с интенсивностью в состояние ; тогда в системе появятся два требования. С интенсивностью система может перейти также из состояния в состояние ; когда в системе находилось два требования, но одно из них было обслужено раньше, чем появилось новое, и т.д. В начале рассмотрим установившийся режим работы системы массового обслуживания, когда основные вероятностные характеристики ее постоянны во времени, например в течение часа. В этом случае интенсивности, входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы: Обозначим величину через , и назовем ее коэффициентом загрузки. Из первого уравнения можно найти значение : . Из второго уравнения найдем значение : . Но первый член – , следовательно, первый и третий сокращаются: . Из третьего уравнения найдем значение : . Но первый член – , следовательно, первый и третий сокращаются: и т. д.; .
Используя очевидное равенство , получим: от = 0 до . Зная вероятность простоя канала обслуживания , можно определить его фактическую производительность: , где G, например, количество груза, помещенного за одно обслуживание в машину. Для установившегося режима работы системы средняя интенсивность поступления требований во входном потоке равна аналогичной характеристике выхода требований из канала обслуживания: , где – среднее число обслуживаемых требований, находящихся в системе. Из данного равенства можно легко найти среднее число требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок), находящихся в системе : . Среднее же число требований (машин), находящихся в очереди, будет вычислено так: . Пусть задан комплект машин «экскаватор – автосамосвалы». Экскаватор погружает за один рабочий цикл т грунта. Грузоподъемность автосамосвала т. Число машин, обслуживающих экскаватор, m = 5. Время рабочего цикла экскаватора составляет = 18 с, а время обращения автосамосвала = 10 мин. Тогда время погрузки одного грузовика составит: мин. Интенсивность погрузки автосамосвала экскаватором составит = 29 погрузок в час. Интенсивность же поступления автосамосвала на погрузку составит = 6 обращений в час. Коэффициент будет равен = 0,207. Вероятность простоя экскаватора в этом случае составит: . Таким образом, фактическая производительность данного комплекта машин будет на 27,1% ниже технической. Вероятности наличия машин в системе: Фактическая производительность комплекта машин: т/час. Среднее число машин, находящихся в системе: . Среднее число машин, находящихся в очереди: . Теперь рассмотрим неустановившийся режим работы системы массового обслуживания, когда основные вероятностные характеристики ее зависят от некоторого промежутка времени. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы, но уже с учетом производных вероятностей. Таким образом, мы будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих функционирование одноканальной замкнутой системы при неустановившемся режиме. Для составления системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей функционирование СМО с пуассоновским потоком, существует мнемоническое правило: • производная вероятности пребывания системы в состоянии равна алгебраической сумме нескольких членов; • число членов этой суммы равно числу стрелок на графе состояний системы, соединяющих состояние с другими; • если стрелка направлена в рассматриваемое состояние , то член берется со знаком «плюс»; • если стрелка направлена из рассматриваемого состояния , то член берется со знаком «минус»; • каждый член суммы равен произведению вероятности того состояния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке. В соответствии с размеченным графом состояний (рис. 1.1) эта система обыкновенных дифференциальных уравнений будет выглядеть так: …………………………………………………………. ………………………………………………………… Как можно заметить, требуется большая вычислительная работа для определения основных параметров функционирования комплекта машин. Можно пойти тремя путями. Первый – предварительный расчет для различных значений коэффициента использования (табл. 1.1). Второй – применение какого-либо языка высокого уровня для решения этой задачи. Третий – использование системы Mathcad. Табл. 1.1. Значения коэффициента использования
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (595)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |