Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график. Примеры
Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной. Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида
называется распределением дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид Свойства функции распределения. 1. . Доказательство:Это утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность, а как известно, . 2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси. Доказательство: Пусть х1<x2. Докажем, что F(x1) F(x2). Пусть событие А=(Х<x1), B=(x1 Х<x2). Тогда А+В=(Х<x2). События А и В несовместны, следовательно по теореме сложения Р(А+В)=P(А)+P(В). То есть Р(Х<x2) =Р(Х<x1)+Р(x1 Х<x2). Другими словами F(x2)=F(x1)+ Р(x1 Х<x2). (3) Так как Р(x1 Х<x2) как вероятность невозможного события Х . как вероятность достовероного события Х . 4. Р(х1 Х<x2)=F(x2)-F(x1). (4) Доказательство:это непосредственно следует из формулы(3). Пример: Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале [2; 5). Решение:По формулеР(х1 Х<x2)=F(x2)-F(x1). (4) Р(2 Х<5)=F(5)-F(2)=1-2/3=1/3. (4). Ответ : 1/3.
Функция распределения дискретной случайной величины. Примеры. если - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида
называется распределением дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:
Теорема о существовании случайной величины с заданной функцией распределения. Непрерывная случайная величина. Вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины. Примеры. Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). различают непрерывные и дискретные случайные величины. Непрерывной случайной величиной называется случайная величина Х, если ее функция распределения (интегральная функция распределения) представима в виде: где f(x) – некоторая неотрицательная функция, такая что Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины X (дифференциальной функцией распределения). Вероятность того, что непрерывная случайная величина X принимает значение в заданном промежутке, вычисляется следующим образом: Примеры распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х:
17. Абсолютно непрерывная случайная величина. Плотность вероятности абсолютно непрерывной случайной величины, ее определение, свойства, и график. Важный класс непрерывных случайных величин -- абсолютно непрерывные случайные величины. Это случайные величины, распределение которых имеет плотность. Определение 3.7 Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если существует функция такая, что
Функция , обладающая вышеперечисленными свойствами, называется плотностью распределения случайной величины . Следствие 3.1 Если -- абсолютно непрерывная случайная величина, то Наглядный смысл плотности можно проиллюстрировать следующим рисунком.
Замечание 3.5 Если плотность непрерывна в точке , то из Следствия 3.1вытекает следующее представление: Следствие 3.2 Если -- точка непрерывности функции , то
1) Равномерное распределение в отрезке
2) Показательное распределение с параметром
Показательное распределение называют также экспоненциальным. 3) Нормальное (или гауссовское) распределение , , :
Стандартное нормальное распределение -- : Плотность распределения удовлетворяет свойствам: и . И наоборот, любая интегрируемая функция , удовлетворяющая этим свойствам, может быть взята в качестве плотности распределения некоторой случайной величины. Поскольку функция распределения является функцией верхнего предела от плотности, то последняя восстанавливается по ней дифференцированием: .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1537)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |