Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Уравнение прямой в пространстве Параметрические и канонические уравнения прямой Положение прямой l однозначно определяется точкой M0 на прямой и вектором ,коллинеарным ей. Вектор называется направляющим вектором прямой. Пусть -текущая точка на прямой l, т.е. точка, пробегающая всю прямую, и пусть Oxyz - прямоугольная декартова система.
Векторы и коллинеарны (рис. 1). ,где -число , или (1) Уравнение (1) носит название векторного параметрического уравнения прямой. Скалярные уравнения прямой в пространстве получим с помощью координат векторов и точек. Обозначим координаты точек через и , координаты направляющего вектора обозначим . Тогда получим параметрические уравнения прямой: (2)
(3) Уравнения (3) называетсяканоническимиуравнениями прямой.
Одну и ту же прямую можно определить разными по форме уравнениями. Общие уравнения прямой Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей: (4) Уравнения (2) умножим на и запишем их в таком виде: , где a,b,g - углы, образованные прямой с осями координат Ox, Oy, Oz. Величины cosa, cosb, cosg называются направляющими косинусами прямой и вычисляются с помощью формул: (5) Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки Пусть прямая проходит через две данные точки М1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2). В этом случае можно считать, что направляющий вектор прямой = =(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1). Подставив в уравнения (3) m = x2-x1, l = y2 - y1, p = z2 - z1, x0 = x1, y0 = y1, z0 = z1, получим . Это уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Замечание.1. Три точки М1 ,М2 ,М3 лежат на одной прямой, если выполняется условие (x3 - x1)/(x2 - x1) = (y3 - y1)/(y2 - y1) = (z3 - z1)/(z2 - z1) От общих уравнений прямой (4) можно перейти к каноническим уравнениям (3) и наоборот. Так как предполагается, что плоскости в (4) не параллельны и, тем более, не совпадают, то хотя бы одно из соотношений должно быть выполнено: . Пусть, например, Положим любое число.
Тогда получим систему уравнений , определитель которой не равен нулю. Пусть -решение этой системы, тогда мы нашли точку на прямой . В качестве нормали можем взять вектор , где . Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых Пусть даны прямые l1 и l2: и (6) (7) Определение. Углом между двумя прямыми l1 и l2 называется угол между их направляющими векторами (m1,l1,p1) и (m2,l2,p2) (рис.2).
(7) Если прямые (6) параллельны, то и коллинеарны. Отсюда получаем условие параллельности прямых: (8) Если прямые (6) взаимно перпендикулярны, то и также перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю, т.е. ( ) = 0 Þ m1m2 + l1l2 + p1p2 = 0. Этоусловие перпендикулярностидвух прямых (9)
Угол между прямой и плоскостью. Пусть даны прямые: (10) и плоскость Ax + By + Cz + D = 0 (11) Углом между прямой l и плоскостью pназывается угол j, образованный прямой с её проекцией на плоскость (рис.6.6.)
Из рис. 3 видно, что угол между (A,B,C) плоскости p и (m,l,p) - направляющим вектором прямой равен p/2 - j, поэтому (12) Условие перпендикулярностипрямой (10) и плоскости (11) совпадает с условием коллинеарности векторов и , поэтому это условие запишется в виде: или A/m = B/l = C/p (13) Условие же параллельностипрямой (10) и плоскости (11) совпадает с условием перпендикулярности векторов и ; следовательно, получим: или Am + Bl + Cp = 0 (14)
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (690)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |