Метод решения относительно одной переменной
Методы решения нелинейных уравнений и неравенств в целых числах При решении нелинейных уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы: 1. Метод разложения на множители; 2. Метод решения относительно одной переменной; 3. Метод оценки; 4. Метод остатков; 5. Метод «спуска»; 6. Метод доказательства от противного; 7. Метод параметризации уравнения; 8. Функционально-графический метод. Метод разложения на множители · Вынесение общих множителей за скобку. Задание 1. Решить в целых числах уравнение 2х3+ху-7=0 Решение: Приведем уравнение к виду: х(2х2+у)=7. Так как , то рассмотрим четыре системы уравнений: Из каждой системы получаем решения. Ответ: (1;5); (-1;-9); (7;-97); (-7;-99) · Применение формул сокращенного умножения. Задание 2. Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55. Решение: Запишем условие задачи в виде уравнения n2-k2=55 или (n-k)(n+k)=55. Так как (n+k)>0, то (n-k)>0, причем (n+k)>(n-k). Поскольку , то возможны только два случая: . Из каждой системы получаем решения Ответ: (28;27); (8;3) · Способ группировки. Задание 3. Решить в целых числах уравнение ху+3х-у=6.. Задание 3. Решить в целых числах уравнение ху+3х-у=6. Решение: Запишем уравнение в виде х(у+3)-(у+3)=3 или (х-1)(у+3)=3. Так как , то рассмотрим четыре системы Из каждой системы получаем решения. Ответ: (4;-2); (-2;-4); (2;0); (0;-6). Разложение квадратного трехчлена. Задание 4. Решить в целых числах уравнение х2-3ху+2у2=11. Решение: решим квадратное уравнение х2-3ху+2у2=11 относительно переменной х: х1=у и х2=2у. Тогда получаем: (х-у)(х-2у)=11. Так как … (продолжи решение) Ответ: (21;10); (-9;-10); (-21;-10); (9;10). · Использование параметра. Задание 5. Решить в целых числах уравнение 2х2-2ху++9х+у=2. Решение: Перепишем уравнение в виде 2х2-х(2у-9)+у-2+а=аи разложим левую часть уравнения на множители как квадратный трехчлен относительно х. Найдем дискриминант D=4у2-44у+97-8а. Очевидно, если 97-8а=121, то дискриминант будет полным квадратом. При этом а=-3 и х= . Отсюда х1=0,5 и х2=у-5. Уравнение принимает вид (2х-1)(х-у+5)=-3. (продолжи решение) Ответ (1;9); (-1;3); (2;8); (0;2). Метод решения относительно одной переменной · Выделение целой части. Задание 6 (МГУ, 1997). Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению 3ху+14х+17у+71=0 Решение: выразим из данного уравнения у через х: . При этом следует отметить, что величина 3х+17 не равна нулю, так как х – целое число. Выделим из дроби в правой части этого равенства правильную Алгебраическую дробь (у которой степень числителя меньше степени знаменателя): . Умножим обе части последнего равенства на 3: или . Поскольку числа 3у и 14 – целые, то 3х+17 должно быть делителем числа 25, т.е. 3у+17= – всего 6 возможностей. Отсюда для х получаем три возможных значения: -4, -6, -14 (в остальных трех случаях х не является целым) Соответствующие значения у равны: -3, -13, -5. Ответ: (-4;-3), (-6;-13), (-14;-5) Замечание: в данном примере суть выделения целой части состоит в избавлении переменной х из числителя. В решении был использован прием домножения обеих частей равенства на коэффициент при х в знаменателе. Этот прием домножения также удобно использовать при решении уравнений методом разложения на множители. · Использование дискриминанта (неотрицательность). Задание 7: Решить в целых числах уравнение 3(х2+ху+у2)=х+8у Решение: Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х: 3(х2+ху+у2)-х-8у=0. Найдем дискриминант D=-27у2+90у+1. Данное уравнение имеет корни, если , т.е. -27у2+90у+1 . Т.к. то получаем, что . Перебирая эти значения, получаем решения уравнения. Ответ: (0;0), (1;1) · Использование дискриминанта (полный квадрат). Задание 7: Решить в целых числах уравнение х2 -ху+у2=х+у Решение: Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х: х2 –(у+1)х+у2-у=0. Его дискриминант D=-3у2+6у+1=t2 должен быть квадратом некоторого целого числа t. Получаем новое уравнение: 3у2-6у-1+ t2=0; 3(у-1)2+ t2=4. Из последнего уравнения следует, что t2 4, . 1. Если t2=0, то уравнение 3(у-1)2=4 не имеет целого решения у. 2. Если t2=1, то уравнение 3(у-1)2=3 имеет целые решения у1=2 и у2=0. При у=2 получаем квадратное уравнение х2-3х+2=0 с корнями х=1 или х=2. При у=0 получаем квадратное уравнение х2-х=0 с корнями х=0 или х=1. 3. Если t2=4, то уравнение 3(у-1)2=0 имеет одно целое решение у=1. При у=1 получаем квадратное уравнение х2-2х=0 с корнями х=0 или х=2. Ответ: (1;2), (2;2), (0;0), (1;0), (0;1), (2;1) Метод оценки · Использование известных неравенств. Задание 8: Решить в натуральных числах уравнение Решение: Пусть для определенности . Проведем перебор для первых значений неизвестной х. 1. Если х=1, то получаем неверное равенство 1+ , так как 1+ при любых натуральных у. 2. Если х=2, то получаем неверное равенство + , так как + при любых натуральных у. 3. Если х=3, то получаем + ; , у=6. 4. Если х=4, то получаем + ; , у=4. 5. Если х=5, то получаем + ; , у= - не натуральное 6. Пусть . По условию , следовательно, . Тогда , а значит, . Таким образом, при исходное уравнение решений не имеет. Заметим, что в уравнении неизвестные х и у равноправны, поэтому снимая условие имеем еще одно решение (6;3). Кроме того, можно сделать вывод, что при исходное уравнение не имеет решений. Ответ: (4;4), (6;3), (3;6) Задание 9: Решить в целых числах уравнение Решение: Можно найти вначале решения только в натуральных числах, так как если (х0; у0; z0) – решение, то, изменив знак у любых двух чисел этой тройки, снова получим решение. Данное уравнение умножим на 2xyz и воспользуемся неравенством , 6xyz=2x2y2+2x2z2+2y2z2=(x2y2+x2z2)+(x2y2+y2z2)+(x2y2+y2z2) 2x2yz+2y2xz+2z2xy=2xyz(x+y+z), откуда x+y+z 3. Но х,у, z – натуральные, поэтому х=у= z=1 единственное решение в натуральных числах. Остальные решения в натуральных числах. Остальные решения исходного уравнения таковы: (-1; -1; 1); (1; -1; -1); (-1; 1; -1). Ответ: (1; 1; 1); (-1; -1; 1); (1; -1; -1); (-1; 1; -1) · Приведение к сумме неотрицательных выражений Задание 10: Решить в целых числах уравнение х+у=х2-ху+у2 Решение: приведем уравнение к виду (х-1)2+(у-1)2+(х-у)2=2. Так как (х-1)2 2, то имеем (х-1)2=0 или (х-1)2=1. Отсюда получаем три значения х: 1, 0, 2. Подставляя эти значения в исходное уравнение, найдем значения у. Ответ: (0,0), (1,0), (0,1), (2,1), (1,2), (2,2) ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (3026)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |