С.Функция Грина в двумерном и трехмерном случаях
Уравнение теплопроводности. Физический смысл. Выведем уравнение, описывающие распределение температуры в теле. Пусть - температура тела в точке М в момент времени t. Будем пользоваться законом Фурье для плотности потока тепла ω в направлении в единицу времени: , к – коэффициент теплопроводности, может зависеть от температуры, точки и времени. Рассмотрим часть тела D, ограниченную поверхность S. Пусть - плотность источников тепла. подсчитаем баланс тепла для D за малое время Δt: Q1=Q2+Q3, где - приход за счёт источников тепла. - расход за счёт выходящего из D потока. - расход на изменение температуры, где с – коэффициент теплоёмкости, ρ – плотность в-ва. Тогда можно записать: , откуда ввиду произвольности D следует: - уравнение теплопроводности. Задача Коши с однородным уравнением на прямой А.Решение с точечным источником.
- ядро, функция Грина (функция источника) задачи. Получим вид функции Грина:
Тогда для функции υ можно записать выражение: ,т.е. получили функцию одной переменной , решение свелось к решению для функции одной переменной . Подставляем: Интегрируем: , =0, т.к. задача симметрична относительно ξ , чётная функция => производная равна нулю. Интегрируем: , выбираем из условия: , интегрируем, , значит постоянен во времени. Прокомментируем полученный результат: чтобы понять, что такое функция Грина, рассмотрим следующую задачу:
т.е. то решение задачи ) в т. . При
В.Построение решения с известной функцией Грина. Рассмотрим задачу: её решение:
Рассмотрим частные случае: Лемма1: , если - продлеваем нечётным образом, то решение задачи Коши: - интеграл от нечётной функции в симметричных пределах. Лемма2: , если , то Можно записать для задачи 1: , и т.д. с.Функция Грина в двумерном и трехмерном случаях.
Лемма: если , то - каждое является решением одномерной задачи Коши с соответств. начальными данными.(доказывается подстановкой): три одномерные задачи, их решения: функция Грина в трёхмерном пространстве: . начальное условие соответствующие трёхмерной задачи.:
11.Смешанная краевая задача и задача Коши с уравнением .
Рассмотрим все эти задачи по отдельности:
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (961)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |