Числовые последовательности. Предел числовой последовательности
Пусть каждому натуральному числу nпоставлено в соответствие действительное число xп. Тогда говорят, что задана последовательность чисел x1, x2, x3, …, xn, … . Числа x1, x2, x3, …, xn, будем называть элементами (или членами) последовательности, xn–общим членом последовательности. Сокращенно последовательность обозначается . Например: 1) 1, 3, 5, …, 2n – 1 – арифметическая прогрессия. d = 2;xn= 2n – 1; x100 = 2 ·100 – 1 = 199. d =x2 – x1 = x3– x2 = … – разность прогрессии. 2) – геометрическая прогрессия. q= – знаменатель прогрессии. x5= ; 3) xn= ; Определение 1.Последовательность {xn} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть существуют числа mиMтакие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам: Пример: В противном случаи последовательность {xn} называется неограниченной. Пример: 1, 2, 3, …, n – неограниченная последовательность. Определение 2.Число a называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого ε> 0найдетсячисло N (номер), зависящее от ε, такое, что для всех натуральных чисел n>N выполняется неравенство:
Тогда последовательность {xn} называется сходящейся, и в этом случае пишут:
Пример: Для любого Так как , то Пусть , тогда . Следовательно 99. Например: , тогда . ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Пусть функция y =f(x) определена в некоторойокрестностиx0,кроме, может быть, самой точки x0. Определение.ЧислоA называется пределом функцииy =f(x) в точке x0 (или при х →x0), если для любого сколь угодно малого числа ε> 0найдетсятакоечисло δ> 0, что для всех х ¹x0, удовлетворяющих неравенству │ х –x0│< δ, выполняется неравенство│f(x) –А│<ε. Или кратко: ε> 0 δ > 0, x:│ х –x0│< δ, х ¹x0=> │f(x) –А│<ε.
Геометрический смысл предела функции заключается в следующем: число , если для любой ε – окрестности точкиAнайдется такая δ – окрестность точки x0, что для всех х ¹x0 из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в ε – окрестности точки А. Рис.7 Пример:Доказать, что Решение. Возьмем произвольное и найдем такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству, , выполняется неравенство , то есть . Взяв , видим, что для всех x, удовлетворяющих неравенству, , выполняется неравенство , следовательно,
Пусть функция y =f(x) определена в промежутке (– ; + ).
Определение.ЧислоA называется пределом функцииf(x) при х , если для любого числа ε > 0существуеттакоечисло M = M (ε) > 0, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству │x│>M,выполняется неравенство │f(x) – А│< ε. В этом случае пишут f(x) = А. Или кратко: ε> 0 M> 0, │x│ >M=> │f(x) –А│<ε. f(x) = А.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (841)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |