Найти функцию распределения F(x)
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Пример 2.1. Случайная величина X задана функцией распределения Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значения, заключенные в промежутке (2,5; 3,6). Решение:Вероятность попадания величины Х в промежуток (2,5; 3,6) можно определить двумя способами: 1. . . или 2. . . Ответ: . Пример 2.2. При каких значениях параметров А и В функция F(x) = A + Be-x может быть функцией распределения для неотрицательных значений случайной величины Х. Решение: Так как все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу , то для того, чтобы функция была функцией распределения для Х, должно выполняться свойство: . . Ответ: . Пример 2.3. Случайная величина X задана функцией распределения Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25;0,75). Решение:Вероятность попадания величины Х в промежуток (0,25;0,75) найдем по формуле: . . Далее вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно 3 раза примет значение, принадлежащее данному интервалу, вычисляется по формуле Бернулли: . . Ответ: .
Пример 2.4. Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,3. Составить закон распределения числа попаданий при трех бросках. Решение: Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трех бросках – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле Бернулли: . . . . . Таким образом, получаем следующий закон распределения вероятностей случайной величины Х:
Пример 2.5. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Решение: Найдем закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий в мишень. Пусть событие – попадание в мишень первым стрелком, а – попадание вторым стрелком, и - соответственно их промахи. . . . Составим закон распределения вероятностей СВ Х:
Пример 2.6. Испытываются 3 элемента, работающих независимо друг от друга. Длительности времени (в часах) безотказной работы элементов имеют функции плотности распределения: для первого: F1(t) =1-e-0,1t , для второго: F2(t) = 1-e-0,2t , для третьего: F3(t) =1-e-0,3t . Найти вероятность того, что в интервале времени от 0 до 5 часов: откажет только один элемент; откажут только два элемента; откажут все три элемента. Решение: Воспользуемся определением производящей функции вероятностей : , где . Вероятность того, что в независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна , во втором и т. д., событие А появится ровно раз, равна коэффициенту при в разложении производящей функции по степеням . Найдем вероятности отказа и неотказа соответственно первого, второго и третьего элемента в интервале времени от 0 до 5 часов: , . , . , . Составим производящую функцию: . Коэффициент при равен вероятности того, что событие А появится ровно три раза, то есть вероятности отказа всех трех элементов; коэффициент при равен вероятности того, что откажут ровно два элемента; коэффициент при равен вероятности того, что откажет только один элемент. Ответ: .
Пример 2.7. Дана плотность вероятности f(x)случайной величины X: Найти функцию распределения F(x). Решение: Используем формулу: . При . При . При . Таким образом, функция распределения имеет вид:
Пример 2.8. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Решение: Случайная величина Х – число элементов, отказавших в одном опыте – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле Бернулли: . . . . . Таким образом, получаем следующий закон распределения вероятностей случайной величины Х:
Пример 2.9. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Решение:Случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных – может принимать значения: 1, 2, 3 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:
где -- число деталей в партии; -- число стандартных деталей в партии; – число отобранных деталей; -- число стандартных деталей среди отобранных. . . . Тогда закон распределения случайной величины будет такой:
Пример 2.10. Случайная величина имеет плотность распределения причем и не известны, но , а и . Найдите и . Решение: В данном случае случайная величина X имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке [a, b]. Числовые характеристики X : . . Следовательно, . Решая данную систему, получим две пары значений: . Так как по условию задачи , то окончательно имеем: . Ответ: .
Пример 2.11. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Решение:Математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам: . . Возможные значения СВ (число договоров (из четырех) с наступлением страхового случая): 0, 1, 2, 3, 4. Используем формулу Бернулли, чтобы вычислить вероятности различного числа договоров (из четырех), по которым были выплачены страховые суммы: . . . . . . . Ряд распределения СВ (число договоров с наступлением страхового случая) имеет вид:
Теперь вычислим числовые характеристики величины : . . Ответ: , .
Пример 2.12. Из пяти роз две белые. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых роз среди двух одновременно взятых. Решение:В выборке из двух роз может либо не оказаться белой розы, либо может быть одна или две белые розы. Следовательно, случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:
где -- число роз; -- число белых роз; – число одновременно взятых роз; -- число белых роз среди взятых. . . . Тогда закон распределения случайной величины будет такой:
Пример 2.13. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу выбранных из общего числа. Решение:Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:
где -- число собранных агрегатов; -- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке; – число выбранных агрегатов; -- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди выбранных. . . . . . .
Тогда закон распределения случайной величины будет такой: Пример 2.14. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Найти математическое ожидание и дисперсию числа просмотренных часов. Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 1, 2, 3, 4. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле: . . . .
Тогда закон распределения случайной величины будет такой:
Теперь вычислим числовые характеристики величины : . . Ответ: , .
Пример 2.15. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Решение: Случайная величина может принимать значения: . Так как набранную цифру абонент в дальнейшем не набирает, то вероятности этих значений равны . Составим ряд распределения случайной величины:
Вычислим математическое ожидание и дисперсию числа попыток набора номера: . . Ответ: , .
Пример 2.16. Вероятность отказа за время испытаний на надежность для каждого прибора серии равна p. Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ, если испытанию подверглись N приборов. Решение:Дискретная случайная величина X — число отказавших приборов в N независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления отказа равна p, распределена по биномиальному закону. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании: . Ответ: .
Пример 2.17. Дискретная случайная величина X принимает 3 возможных значения: с вероятностью ; с вероятностью и с вероятностью . Найти и , зная, что M(X) = 8. Решение: Используем определения математического ожидания и закона распределения дискретной случайной величины: Находим: . . Ответ: . Пример 2.18. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание случайной величины X – числа партий, в каждой из которых содержится ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий. Решение: В данном случае все проводимые опыты независимы, а вероятности того, что в каждой партии содержится ровно 4 стандартных изделия, одинаковы, следовательно, математическое ожидание можно определить по формуле: , где - число партий; - вероятность того, что в партии содержится ровно 4 стандартных изделия. Вероятность найдем по формуле Бернулли: . . . Ответ: .
Пример 2.19. Найти дисперсию случайной величины X – числа появлений события A в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M(X) = 0,9. Решение: Задачу можно решить двумя способами. 1) Возможные значения СВ X : 0, 1, 2. По формуле Бернулли определим вероятности этих событий: . , , . Тогда закон распределения X имеет вид:
Из определения математического ожидания определим вероятность : . Найдем дисперсию СВ X: . . 2) Можно использовать формулу: . . . Ответ: . Пример 2.20. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25). Решение: Вероятность попадания нормальной случайной величины Х на участок от до выражается через функцию Лапласа: . . Ответ: .
Пример 2.21. Дана функция: При каком значении параметра C эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X? Найти математическое ожиданий и дисперсию случайной величины X. Решение:Для того, чтобы функция была плотностью распределения некоторой случайной величины , она должна быть неотрицательна, и она должна удовлетворять свойству: . Следовательно: . Вычислим математическое ожидание по формуле: . . Вычислим дисперсию по формуле: . . Ответ: , , .
Пример 2.22. Величина X задана плотностью вероятности в интервале (0;1), вне этого интервала . Найти: постоянный параметр С; математическое ожидание величины X. Решение: Воспользуемся свойством плотности распределения случайной величины : . Следовательно: . Вычислим математическое ожидание по формуле: . . Ответ: , .
Пример 2.23. Случайная величина X в интервале (0; ) задана плотностью вероятности ; вне этого интервала . Найти дисперсию X. Решение:Найдем математическое ожидание и дисперсию СВ X по следующим формулам: . . . . Ответ: . Пример 2.24. Устройство состоит из N элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна p. Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Решение: Закон распределения дискретной случайной величины X — числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , называют биномиальным. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А одном испытании: .
Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:
Пример 2.25. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.25. Определить среднее квадратическое отклонение числа попаданий при трех выстрелах. Решение: Так как производится три независимых испытания, и вероятность появления события А (попадания) в каждом испытании одинакова, то будем считать, что дискретная случайная величина X — число попаданий в мишень – распределена по биномиальному закону. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: Ответ: .
Пример 2.26. Среднее число клиентов, посещающих страховую компанию за 10 мин., равно трем. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 минут придет хотя бы один клиент. Решение:Будем считать, что число клиентов на любом участке времени распределено по закону Пуассона. Среднее число клиентов, пришедших за 5 минут: . Вероятность того, что придет хотя бы один клиент: . Ответ: .
Пример 2.27. Среднее время настройки прибора составляет 5 минут и подчинено показательному распределению. Мастер уже потратил 5 минут на настройку очередного прибора. Найти вероятность того, что он затратит еще не менее трех минут на настройку этого прибора. Решение: Запишем закон распределения времени настройки прибора в виде С учетом того фактора, что , имеем усеченное показательное распределение в виде , где параметр определяется из соотношения . Для нашего случая . Получаем усеченное распределение в виде . Тогда искомую вероятность найдем по соотношению Ответ: .
Пример 2.28. В отдел заказов в среднем приходит 18 клиентов в час. Определить вероятность того, что за две текущие минуты в отдел заказов придет хотя бы один клиент. Решение: Будем считать, что число клиентов на любом участке времени распределено по закону Пуассона. Среднее число клиентов, пришедших за 2 минуты: . Вероятность того, что придет хотя бы один клиент: . Ответ: .
Пример 2.29. Время ожидания заявки в очереди на процессор подчиняется показательному закону распределения со средним значением 20 секунд. Найти вероятность того, что очередная (произвольная) заявка будет ожидать процессор более 35 секунд. Решение: В этом примере математическое ожидание , а интенсивность отказов равна . Тогда искомая вероятность: Ответ: .
Пример 2.30. Группа студентов в количестве 15 человек проводит собрание в зале, в котором 20 рядов по 10 мест в каждом. Каждый студент занимает место в зале случайным образом. Какова вероятность того, что не более трех человек будут находиться на седьмом месте ряда? Решение: Пример 2.31. В партии из 10 деталей имеется 3 нестандартных. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х - числа нестандартных деталей среди трех отобранных и найти ее математическое ожидание. Решение: Дискретная случайная величина – число нестандартных деталей среди трех отобранных - может принимать значения: . Общее число способов выбора трех деталей из десяти определяется числом сочетаний . Число способов выбора трех деталей, среди которых нестандартных, а - стандартных деталей ( , определяем по правилу произведения как . Тогда согласно классическому определению вероятности: где -- число деталей в партии; -- число нестандартных деталей в партии; – число отобранных деталей; -- число нестандартных деталей среди отобранных. . . . . Тогда закон распределения случайной величины будет такой:
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (50099)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы (0.011 сек.) |