Смешанное произведение векторов и его свойства
Определение. Смешанным произведением трёх векторов (обозначается называется скалярное произведение вектора на векторное произведение , т.е. (17) Из формулы (17) следует, что свойства смешанного произведения являются следствиями свойств скалярного и векторного произведений векторов. Перечислим их без доказательств. Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке сомножителей:
Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах:
Из свойства следует, что если векторы лежат в одной плоскости (параллельны одной плоскости, т.е. компланарны), то параллелепипеда на них построить нельзя (его объём равен нулю) и Таким образом, равенство нулю смешанного произведения есть условие компланарности трёх векторов. Смешанное произведение в координатной форме. Пусть Тогда (18) Например, пусть тогда
т.е. эти три вектора параллельны одной плоскости (компланарны). Пример 6. Даны три не компланарных вектора . Выяснить, компланарны ли векторы , , Решение. Векторы заданы в бескоординатной форме, поэтому пользуемся определением и правилами оперирования как с многочленами: , т.к. - некомпланарны. Ответ: Векторы некомпланарны. Подводя итог и имея в виду геометрические приложения, запомним, что для вычисления углов и длин используем скалярное произведение; для вычисления площадей - векторное произведение; для вычисления объёмов – смешанное произведение. Пример 7. Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) угол между ребрами и ; 2) площадь грани ; 3) проекцию вектора на вектор ; 4) объём пирамиды ; 5) длину высоты пирамиды, проведённой из точки . .
вычислим их координаты, вычитая из координат конца координаты начала:
1) Угол между рёбрами и найдём как угол между векторами и с помощью скалярного произведения:
следовательно по таблицам находим 2) Площадь грани вычислим с помощью векторного произведения , точнее, с помощью его модуля: Сначала найдём само векторное произведение: Тогда 21,6 ед.2 3) Проекцию вектора на вектор находим с помощью скалярного произведения: 4) Объём пирамиды равен объёма параллелепипеда, построенного на векторах , и , который равен модулю их смешанного произведения. Поэтому сначала находим смешанное произведение:
следовательно, 5) Объём пирамиды равен произведению площади основания на высоту:
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1113)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |