КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5

Ш КУРС БАЗА 11 КЛАССОВ

ПРОГРАММА

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Приближенное значение числа. Оценка погрешности приближенного

значения числа. Округление. Погрешности вычислений с приближенными

данными.

 

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Радианное измерение углов. Тригонометрические функции числового

аргумента, знаки их значений. Соотношения между тригонометрическими

функциями одного аргумента. Формулы приведения. Четность и нечетность,

периодичность, промежутки монотонности и непрерывность тригонометриче

ских функций. Графики тригонометрических функций. Формулы сложения,

двойного и половинного аргумента, суммы и разности одноименных тригоно

метрических функций. Обратные тригонометрические функции.

 

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.

Понятие предела и непрерывности функции в точке. Производная

функции и ее физический смысл.

Правила дифференцирования. Вторая производная и ее физический

смысл.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.

Дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным

вычислениям.

 

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Частные производные и частные дифференциалы Полный дифференциал.

Понятие о функции нескольких переменных. Частные приращения функ-

ции. Определение частной производной. Дифференцирование функций не -

скольких переменных. Частный и полный дифференциал.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5

1. Приближенные вычисления.

См. ч.П стр. 11-18

2. Тригонометрические функции.

При изучении этой темы повторите материал по тригонометрическим

функциям, изученный в школе, обратив особое внимание на определение

тригонометрических функций, теоремы синусов и косинусов и значения

тригонометрических функций некоторых углов (0°, 30°, 45°, 60°, 90° и др.).

Важно усвоить определения тригонометрических функций числового

аргумента, их знаки по четвертям, определение радианной меры угла.

Помните, что положительны: синус и косеканс - в 1 и П четверти; косинус и

секанс - в 1 и 1У четверти; тангенс и котангенс - в 1 и Ш четверти. Обратите

внимание на то, что в 1 четверти положительны все тригонометрические

функции.

3. Производная функции.

См. ч.П стр. 53-61

4. Дифференциал функции.

См. ч.П стр. 75-79

5. Функции нескольких переменных.

Площадь прямоугольника со сторонами а и b находится по формуле:

S = а · b

 

 

b b

 

а

 

С изменением одной из сторон изменится и площадь.

Поэтому площадь прямоугольника является функцией, зависящей от

сторон а и b , т.е. S (а,b), а > 0, b> 0

Определение: Соответствие, при котором каждой допустимой системе значений переменных х,у,...a поставлено в соответствие определенное значение

переменной Z называется функцией нескольких переменных ( х,у,...a ).

Z = ¦( c,g,...a )

Примеры:

1. Площадь треугольника со сторонами а,b,с, углом a и высотой h можно вычислить по формулам

2. По теореме синусов

Определение: Разность между приращенным значением функции по одному какому-нибудь независимому переменному и начальным значением этой функции называется частным приращением функции

 

 

Пример:

 

 

Определение: Частной производной функции нескольких переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению аргумента,

вызвавшее это приращение функции, когда приращение аргумента

стремится к нулю.

 

Функция имеет столько частных производных от скольки переменных она зависит.

Правило: Чтобы найти частную производную по какой-либо переменной, надо все

остальные переменные считать постоянными и продифференцировать

функцию по этой переменной.

Помни!(с·u)'= с·u', где с - соnst то есть постоянный множитель выносится за знак

производной.

 

 

Примеры:

 

Определение: Произведение частной производной функции по некоторому переменному на на дифференциал этого переменного называется частным дифференциалом и

обозначается

 

Примеры:

Определение: Полный дифференциал функции равен сумме частных дифференциалов этой

функции по всем независимым переменных, от которых она зависит и

представляет главную часть полного приращения функции. [а1]

Пример:

й

Найдем частные производные:

При упрощении использована формула:

2. Найти полный дифференциал функции в точке

при X=0,1; У=0,2

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5

1. С точностью до 0,01 вычислите

2. Вычислить значение выражения

если а » 7,345; с » 2,9

 

3. Какие из чисел 2,235; 2,225; 2,22; 2,19; 2,215; 2,20; 2,21; 2,23

являются приближениями числа

 

4. Вычислить произведение приближенных чисел

 

0,5465·3,74·5,2 и определить погрешность результата

 

5. Упростить выражение

 

 

 

6. Найти неизвестный член пропорции и определить границу погрешности результата,

если:

4,8 : 21,76 = 0,8 : x

 

7. Найти х и оценить абсолютную погрешность

8. Найти относительную погрешность приближения

 

9-12. Выполнить действия над приближенными числами по правилам счета верных цифр

 

9. 2,2 (3,7083 - 1,42 + 0,6975 ) : ( 3,9 - Ö2 )

 

13-25. Вычислить приближенное значение выражения и границу погрешности результата:

 

 

 

26-32. Упростить тригонометрические выражения:

33-41. Доказать тождество:

 

[а1]