Отражение света от границы раздела двух сред. Формулы Френеля

 

· Пусть j- угол падения, y - угол преломления.

· Коэффициент отражения света по амплитуде для света перпендикулярной поляризации:

. (3.1)

· Коэффициент отражения света по амплитуде для света параллельной поляризации:

. (3.2)

· Коэффициенты пропускания по амплитуде для света перпендикулярной и параллельной поляризации:

, . (3.3)

· Коэффициент отражения света по интенсивности:

. (3.4)

· Коэффициент пропускания света по интенсивности:

. (3.5)

При этом: .

· Относительный показатель преломления :

. (3.6)

· Формулы Френеля позволяют рассчитать коэффициенты отражения и пропускания:

(3.7)

 

, (3.8)

, (3.9)

, (3.10)

, , (3.11)

, . (3.12)

 

 

· Интенсивность падающего, отраженного и прошедшего света:

, (3.13)

, (3.14)

, (3.15)

- волновое сопротивление вакуума,

- волновое сопротивление среды.

 

Задачи

3.1 На поверхность из стекла (n=1,6) под углом 25° из воздуха пада­ет линейно поляризованная волна, электрический вектор которой колеблется в плоскости падения. Определить коэффициенты отра­жения R и пропускания Т.

3.2 На поверхность из стекла (n=1,65) под углом 35° из воздуха па­дает линейно поляризованная волна, электрический вектор которой колеблется в плоскости, образующей угол 30° с плоскостью паде­ния. Найти коэффициенты отражения R и пропускания Т.

3.3 Естественный свет падает из стекла с n=1,65 под углом 40° на границу с некоторым раствором, показатель преломления n₂ кото­рого зависит от концентрации растворенного вещества и может из­меняться в широком пределе. При каком показателе преломления n₂ отраженный свет линейно поляризован, и каков при этом коэффи­циент отражения?

3.4 Из стекла (n=1,55) на границу раздела с воздухом под углом 60° падает световая волна. Найти критический угол и сдвиг фаз коле­баний напряженности электрического поля .

3.5 Найти область углов падения линейно поляризованной волны из воздуха на поверхность воды (n=1,33), при которой коэффициент отражения R больше 0,5. Плоскость колебаний электрического век­тора волны перпендикулярна плоскости падения.

3.6 Естественный свет падает под углом Брюстера на стеклянную пластинку (n=1,65). Найти коэффициент отражения R.

3.7 Вывести формулу для связи сдвига фаз колебаний перпендику­лярной и лежащей в плоскости падения компонент электрического поля волны при полном отражении.

3.8 Естественный свет падает под углом Брюстера из воздуха на по­верхность стекла с показателем преломления n=1,5. Найти интен­сивность отраженного света, приняв за единицу интенсивность па­дающего света.

3.9 Линейно поляризованная волна интенсивностью j₀= 1 мВт/см² падает из воздуха (n=1) на стекло с показателем преломления n₁=1,4 под углом j=35^о. Плоскость падения вектора Е составляет угол a=30^o с плоскостью падения. Определить интенсивность прошед­шего и отраженного света.

3.10 Линейно поляризованная волна интенсивностью I₀=5 мВт/см² падает из воздуха с n₁=1 на стекло (n₂=l,5) под углом 45°. Плос­кость колебаний вектора Е составляет угол 45° с плоскостью паде­ния. Определить угол наклона вектора Е к плоскости падения в прошедшей и отраженной волнах.

 

 

Гауссовы пучки

· Гауссовым пучком называется пучок, поперечное распределение напряженности электрического поля в котором определяется функцией Гаусса:

Е(x, y)= Е_о exp(-r²/2w_о ²) , (4.1)

где Е_о - амплитуда напряженности электрического поля на оси пучка,

-есть расстояние от оси пучка в плоскости, перпендикулярной оси Oz,

w_o - радиус пучка в перетяжке,

перетяжка - самое узкое место пучка (см. рисунок 4.1).

 

Рис. 4.1. – Ход лучей в гауссовом пучке

 

Здесь z=0 - плоскость перетяжки, пунктиром изображены волновые поверхности.

· Интенсивность пучка пропорциональна квадрату амплитуды (I ~ E²(x, y)) и описывается соответственно также функцией Гаусса:

I = I_о exp(-r²/w_о ²) , (4.2)

где I_o- интенсивность на оси пучка.

· Ширина распределения интенсивности w(z) меняется вдоль оси Oz по закону

, (4.3)

где l - длина волны, z - расстояние от перетяжки.

· Радиус кривизны волновой поверхности R(z) по мере распространения меняется по закону:

R(z)= z . (4.4)

На больших расстояниях от начала координат R совпадает с расстоянием от перетяжки до волнового фронта z. Это означает, что в дальней зоне волновой фронт гауссова пучка приближается к волновому фронту сферической волны, распространяющейся из точки, расположенной на оси пучка в месте его фокальной перетяжки.

Задачи

4.1 Дана тонкая линза с фокусным расстоянием f, расположенная в плоскости перетяжки гауссова пучка, радиус которой w₁. Найти но­вое положение плоскости перетяжки. ( Указание. Решение следует искать с помощью комплексного параметра q.). Длина волны l.

4.2 Дана тонкая линза с фокусным расстоянием f, расположенная в плоскости перетяжки гауссова пучка, радиус которой w₁. Найти ра­диус выходною пучка в плоскости новой перетяжки.. (Указание. Решение следу­ет искать с помощью комплексного параметра q.). Длина волны l.

4.3 Тонкая линза, помещенная в перетяжку гауссова пучка радиуса w₁=1мм, создает новую перетяжку на расстоянии l=5 см. Най­ти фокусное расстояние линзы. Длина волны l=0,5 мкм. (Указание. Решение следует искать с помощью комплексного параметра q ).

4.4 Найти групповую скорость гауссова пучка в среде с квадратичным показателем преломления с известной зависимостью постоянной распространения: , где l, m –номера моды.

4.5 Найти фазовую и групповую скорость гауссова пучка в некоторой среде, если постоянная распространения выражается следующим образом: , где g=const.

 

 

Лучевые матрицы

· При распространении параксиальных лучей параметры луча и на 1 плоскости можно связать с параметрами и на 2 плоскости следующим образом:

, (5.1)

Здесь r - расстояние от оси Oz, В матричном виде:

(5.2)

Коэффициенты A, B, C, D образуют лучевую матрицу.

Если луч света проходит через несколько сред, результирующая матрица находится в виде произведения соответствующих лучевых матриц для каждой среды:

(5.3)

· Лучевые матрицы для некоторых простейших элементов и сред

 

1. Однородная среда длиной d
2. Граница раздела диэлектриков с показателями преломления n1 и n2
3. Сферическая граница раздела диэлектриков радиуса R
4. Сферическое зеркало с радиусом кривизны R
5. Линза с фокусным расстоянием f

6. Среда с квадратичным профилем показателя преломления длиной l.

k₂ = const.

 

 

 

Задачи

5.1 Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и границу раздела диэлектриков. Показатели преломления сред n₁ и n₂ соответственно.

5.2 Определить элементы А, В, С, D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и сферическую границу раздела диэлектриков. Радиус сферической границы R, показатели прелом­ления сред n₁ и n₂.

5.3 Определить элементы А, В, С, D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и сферического зеркала с радиу­сом кривизны R.

5.4 Определить элементы А, В, С, D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и среду с квадратичной зависимостью показателя преломления длиной l.

5.5 Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через линзовую систему, состоящую из двух линз с фокусными рас­стояниями f₁ и f₂, расстояние между которыми равно d.

5.6 Определить элементы лучевой матрицы для луча, прошедшего через две стеклянные пластинки толщиной 2 см (показатель преломления первой пластинки 1,4, второй пластинки 1,6).

5.7 Покажите, что матрица A, B, C, D для луча, прошедшего через лин­зовую систему, состоящую из двух линз с фокусными расстояниями f₁ и f₂, расположенными друг от друга на расстоянии d, есть матри­ца унитарная, то есть AD-BC=1.

5.8 Определить элементы A, B,C,D, матрицы для луча, прошедшего через два полупрозрачных зеркала с радиусами кривизны R₁ и R₂, расположенными на расстоянии d. Рассмотреть случай, когда луч проходит через систему без отражения от зеркал.

 

 

Задачи

5.1 Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и границу раздела диэлектриков. Показатели преломления сред n₁ и n₂ соответственно.

5.2 Определить элементы А, В, С, D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и сферическую границу раздела диэлектриков. Радиус сферической границы R, показатели прелом­ления сред n₁ и n₂.

5.3 Определить элементы А, В, С, D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и сферического зеркала с радиу­сом кривизны R.

5.4 Определить элементы А, В, С, D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и среду с квадратичной зависимостью показателя преломления длиной l.

5.5 Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через линзовую систему, состоящую из двух линз с фокусными рас­стояниями f₁ и f₂, расстояние между которыми равно d.

5.6 Определить элементы лучевой матрицы для луча, прошедшего через две стеклянные пластинки толщиной 2 см (показатель преломления первой пластинки 1,4, второй пластинки 1,6).

5.7 Покажите, что матрица A, B, C, D для луча, прошедшего через лин­зовую систему, состоящую из двух линз с фокусными расстояниями f₁ и f₂, расположенными друг от друга на расстоянии d, есть матри­ца унитарная, то есть AD-BC=1.

5.8 Определить элементы A, B,C,D, матрицы для луча, прошедшего через два полупрозрачных зеркала с радиусами кривизны R₁ и R₂, расположенными на расстоянии d. Рассмотреть случай, когда луч проходит через систему без отражения от зеркал.