Разработка факультативного занятия на тему «Способ рационализации при решении иррациональных уравнений»
Ход занятия Иногда посредством некоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональному виду. В таком случае говорят, что эта подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное уравнение, и называют ее рационализирующей. Способ решения иррациональных уравнений, основанный на применении рационализирующих подстановок, назовем способом рационализации. Применяя рационализирующую подстановку, необходимо следить за тем, чтобы область определения нового рационального уравнения, получаемого в результате этой подстановки, соответствовала области определения данного иррационального уравнения. Только при этом условии рационализирующая подстановка приведет рассматриваемое иррациональное уравнение к рациональному уравнению, которое всюду в области его определения эквивалентно данному. Рассмотрим рационализацию некоторых выражений, содержащих радикалы, с помощью рационализирующих подстановок и применение этих подстановок при решении иррациональных уравнений. 1. Рационализация выражения Выражение вида , (1) где обозначает рациональную функцию, и – постоянные, а – любое целое положительное число, рационализируется подстановкой . (2) Действительно, возводя обе части равенства (2) в -ую степень, получим , откуда , причем функция рациональна. Следовательно, . Поскольку рациональная функция от рациональной функции представляет собой также рациональную функцию, то выражение, стоящее в правой части последнего равенства, является рациональным. Пример 1. Решить уравнение . Решение. ОДЗ рассматриваемого уравнения . Рационализирующей подстановкой это уравнение приводится к эквивалентной ему смешанной системе или (сокращая дробь на ) системе Решением последней будет . Воспользовавшись подстановкой, получим . Ответ: . 2. Рациональность дробно-линейных иррациональностей Аналогично предыдущему доказывается, что функция вида , (3) где , , и – некоторые постоянные, а – любое целое положительное число (дробно-линейная иррациональность), может быть при условии приведена к рациональному виду подстановкой (4) Иррациональная функция (5) рационализируется при помощи подстановки (6) где – наименьшее общее кратное показателей радикалов , , … Пример 2. Решить уравнение . Решение. Будем искать корни данного уравнения в области (очевидно, что числа и не являются его корнями). Разделим обе части уравнения на : . Полученное уравнение в рассматриваемой области с помощью рационализирующей подстановки
сводится к смешанной системе эквивалентной ему в этой области. Определив решения этой системы и и воспользовавшись подстановкой, находим корни исходного уравнения. Ответ: . 3. Рационализация биноминальных выражений Можно доказать, что выражение , (7) где и – постоянные, а показатели степеней , – некоторые рациональные числа, допускает рационализирующие подстановки только в трех случаях, когда оказывается целым одно из чисел , или . В этих случаях возможны следующие подстановки: Если – целое, то , где – наименьшее общее кратное знаменателей чисел и . Если – целое, то , где – знаменатель числа . Если – целое, то , где – знаменатель числа . Существование указанных трех рационализирующих подстановок доказывает возможность приведения к рациональному виду уравнений в первом случае и во втором и третьем случаях. Пример 3. Решить уравнение . Решение. Так как – не является корнем уравнения, разделим обе его части на . Выделяется биномиальное выражение: . Имеет место третий случай рационализации ( и – целое число). Следовательно, будем применять подстановку . Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим , так что . Теперь с помощью подстановки и найденного значения получаем и исходное иррациональное уравнение приводится к рациональному , или . Определив корни этого уравнения , и воспользовавшись подстановкой, находим Ответ: 4. Рационализация квадратичныхиррациональностейпосредством подстановок Эйлера Квадратичной иррациональностью назовем функцию вида , (9) где и – некоторые постоянные. Покажем, что это выражение всегда рационализируется одной из так называемых подстановок Эйлера. При этом мы, конечно, будем считать, что квадратный трёхчлен неотрицателен и не имеет равных корней (в противном случае корень можно заменить рациональным выражением). а) Сначала рассмотрим случай, когда дискриминант . В этом случае знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком , и поскольку этот трёхчлен положителен (в силу условия равенство трёхчлена нулю невозможно), то . Таким образом, мы можем сделать следующую подстановку: (или ) (10) Подстановку (10) иногда называют первой подстановкой Эйлера. Докажем, что эта подстановка рационализирует функцию (9) в рассматриваемом случае. Возводя в квадрат обе части равенства (заметим, что ), получим , так что , где функции и рациональные. Таким образом, . В правой части полученного равенства стоит рациональная функция. б) Рассмотрим теперь случай, когда дискриминант , то есть квадратный трехчлен имеет (различные) действительные корни и . Следовательно, . Аналогично предыдущему доказывается, что в этом случае функция (9) рационализируется посредством подстановки: , (11) называемой часто второй подстановкой Эйлера. Замечание 1. Рационализирующая подстановка (11) справедлива при условии . Следовательно, применяя эту подстановку при решении иррационального уравнения, необходимо проверить, не является ли значение корнем данного уравнения (иначе возможна потеря этого корня). Замечание 2. Если , то в этом случае можно положить (или ) (12) Ответ: , . Пример 4. Решить уравнение . Решение. В данном уравнении дискриминант квадратного трехчлена положителен, корни его и . Найдем другие корни подстановкой . Применяя эту подстановку, необходимо проверить, не является ли значение корнем данного уравнения. Итак, – корень данного уравнения. Возводя в квадрат обе части равенства , получим , откуда . Теперь подставим это значение в исходное уравнение и последовательно получаем:
и исходное уравнение сводится к уравнению , или . Это уравнение имеет единственный действительный корень , тогда . Итак, исходное уравнение имеет два корня: и . Ответ: , . 5. Рационализация с помощью тригонометрических подстановок Иногда подходящей заменой неизвестной иррациональное уравнение можно свести к тригонометрическому уравнению. При этом полезными могут оказаться следующие замены переменной. [17] 1). Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену , или , . 2). Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену tg t, или ctg t, . 3). Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену , или , . Проиллюстрируем использование этих замен на следующих примерах. Пример 5. Решить уравнение . Решение. В данное уравнение входит выражение , поэтому в соответствии с пунктом 2, сделаем замену tg t, где . Тогда выражение , входящее в уравнение, можно преобразовать и исходное уравнение можно записать в виде . Поскольку не равен нулю при рассматриваемых значениях t, то полученное уравнение равносильно уравнению . Решая это уравнение, находим два возможных значения и . Из всех корней этих уравнений промежутку принадлежит единственное значение . Поэтому соответствующее значение x равно . Ответ. . Пример 6. Решить уравнение . Решение. В этом уравнении x по ОДЗ может принимать только значения из отрезка , что приводит к мысли совершить замену , где . В результате такой замены приходим к уравнению . Учтем, что и , получим уравнение . В силу ограничения выполнено , поэтому приходим к уравнению , которое, пользуясь формулой приведения, сведем к стандартному виду . Решая последнее уравнение, находим или , . Условию удовлетворяют лишь три значения , , . Поэтому , , . Ответ. , , . В заключение нужно отметить, что способ рационализации успешно может быть применён также для рационализации иррациональных неравенств, для вычисления и преобразования иррациональных выражений и так далее.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (332)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |