Тензорные произведения пространств
3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Нк. Образуем формальное произведение (3.1.) α = (α1,…, αn) (n раз), то есть рассмотрим упорядо- f= (f α C), || f||2 = < ∞ (3.2.) Пусть g= , тогда скалярное произведение опреде- ( f, g) = (3.3.) Пусть f( k)= (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению f = f(1) … f(n) = (3.4.) Коэффициенты f α = разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом || f || = (3.5.) Функция Н1 ,…, Н n < > линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…, Н n и обозначается α. Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению. Пусть Н1 и Н2 – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1 f2, причем считается, что (f1 + g1) f2 = f1 f2 + g1 f2 (3.6.) f1 (f2 + g2) = f1 f2 + f1 g2 (3.7.) (λ f1) f2=λ (f1 f2) (3.8.) f1 λ (f2) = λ (f1 f2) (3.9.) f1, g1 Н1; f2, g2 Н2; λ С. Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.). Затем вводится скалярное произведение в L. (f1 f2 , g1 g2 ) = (f1 g1)(f2 g2) (3.10.) f1, g1 Н1; f2, g2 Н2, а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.
3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов. Теорема 3.1. Пусть , - две последовательности гильбер- ( ) f = ( ) = (3.11.) (f ). Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор L ( , ), причем || || = || || (3.12.) Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1 ,…, Н n = (Н1 ,…, Н n-1) Н n общий случай получается по индукции. Пусть - некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g = G1 G2. В качестве f возьмем вектор из Н1 Н2 с конечным числом отличных от нуля координат fα. Зафиксируем α2, β1 Z+ и обозначим через f(α2) Н1 вектор f(α2) = и через g(β1) G2 – вектор g(β1) = . Получим = = = ≤ = = ≤ = = Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1 G2 ряда уже при произвольном c Н1 Н2 и оценка его нормы в G1 G2 сверху через ||A1|| ||A2|| ||f||. Таким образом, оператор A1 A2: Н1 Н2 →G1 G2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1|| ||A2||. Из (3.5.) и (3.11.) следует ||(A1 A2) (f1 f2)|| = ||A1 f1||||A2 f2|| (fк Нк , к = 1, 2) Подбирая должным образом орты f1, f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||, поэтому неравенство ||(A1 A2)|| ≤ ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано. Из (3.11.) получаем для Ак L(Hк, Gк), Вк L(Hк, Gк) (к = 1,…, n) соотношения ( Вк) ( Ак) = (Вк Ак) (3.13.) ( Ак)* = Ак* (3.14) ( Ак) (f1 … f n) = A1 f1 … An fn (3.15.) (fк Hк; к = 1,…, n) (3.15) однозначно определяет оператор Ак. Приведем пример. Пусть Hк = L2( (0,1), d ( mк)) = L2 Действительно, вектору вида (3.1.) поставим в соответствие функцию L2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L2.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (262)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |