Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве. Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2 тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств Н = Н0 Н1 Н2 ( (С2 L2((0, ), dρк))) (2.1.) и меры ρк инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х. Доказательство. Пусть А = Р1 +Р2. Н0=Н0,0 , Н1=Н1,0 Н0,1 , Н2=Н1,1 Поставим в соответствие φ→ε cosφ, где φ (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А) [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.) Н = Н0 Н1 Н2 ( (С2 L2((0, 2), dρк))) Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρк (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х. Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А) [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р1΄ Р2΄ равенствами Р1΄ = P1 P2 ( ( Iк )) Р2΄ = P2 ( Iк )) где Pi: Н→Нi (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik – единичный оператор в L2((0, 2), dρк)). Тогда А =Р1΄ + Р2΄ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Рк΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.
2.2. Спектр линейной комбинации А = aР1 + bР2 (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР1 + bР2 (0<a<b). Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда (А) [0, a] [b, a+ b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств Н = Н0 Н a Н b Н a+ b ( (С2 L2([0, a] [b, a+ b], dρк)))) (2.2.) и меры ρк инвариантны относительно преобразования х→ a+ b. Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2 (0<a<b). Пусть Н0=Н0,0, На=Н0,1, Н b=Н1,0 , Н a+ b=Н1,1. Так как (А) [0, a] [b, a+ b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем Н = Н0 Н a Н b Н a+ b ( (С2 L2([0, a] [b, a+ b], dρк)))) где меры ρк (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+ b-х. Обратно, пусть (А) [0, a] [b, a+ b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1 и Р2 следующим образом P1 = Pa Pa+b ( ( I к )) Р 2 = Pb Pa+b ( I к )) где Рα: Н→Н α , α = a, b, a+ b – ортопроекторы, Iк – единичный оператор в L2([0,a] [b, a+ b]). Тогда А = aР 1 + bР 2 = aР 1 bР 2 (a+b)Pa+b ( ( I к )) ( Iк )) ЗАКЛЮЧЕНИЕ В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 . P2 = С <p1, p2 | pк2 = pк* =pк>. А именно: 4 одномерных π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1; π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1. И двумерные: , τ (0, 1) Изучен спектр операторов Р1 + Р2, aР1 + bР2 (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 + Р2 и А = aР1 + bР2 (0<a<b). ЛИТЕРАТУРА 1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966. 2. Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990. 3. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982. 4. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974. 5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978. 6. Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979. 7. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968. 8. Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998. 9. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956. 10. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975. 11. NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985. 12. Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (220)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |