Классификация численных методов и алгоритмов

Методы эквивалентных преобразований – методы, позволяющие заменить исходную задачу другой, имеющей тоже решение. Выполнение эквивалентных преобразований обосновано, если новая задача проще исходной или обладает лучшими свойствами, или для нее существует известный метод решения, а, может быть и готовая программа.

Методы аппроксимации – методы позволяющие приблизить исходную задачу другой, решение которой в определенном смысле близко к решению исходной задачи. Погрешность, возникающая при такой замене, называется погрешностью аппроксимации.

Прямые методы — методы, позволяющие получить решение после выполнения конечного числа арифметических операций.

Итерационные методы — методы, в которых решение задачи определяется как предел некоторой последовательности (последовательности итераций), а приближенное решение — достаточно "близкий" к пределу элемент последовательности; при этом первый элемент последовательности, нулевое приближение, задается вычислителем, а каждое последующее приближение (итерация) получается из предыдущего как результат одного и того же конечного набора арифметических действий. Если построенная таким образом последовательность сходится к решению задачи, то говорят, что итерационный метод сходится.

, , , . Здесь y — точное решение задачи, y* — приближенное численное решение задачи, —n-е приближение (n-я итерация), — какая-либо мера близости k-й к точному решению, — заданная погрешность решения.

Методы статистических испытаний (методы Монте-Карло) — методы, основанные на моделировании случайных величин, в которых приближенным решением задачи является статистическая оценка искомого решения.

Одношаговые методы — для вычисления очередного приближения (для вычисления решения в очередной точке) используется информация только о предыдущем приближении (о решении в предыдущей точке): , .

Многошаговые методы — для вычисления очередного приближения (для вычисления решения в очередной точке) используется информация о нескольких предыдущих приближениях (о решении в нескольких предыдущих точках): .

Явные методы —очередное приближение явно выражается через предыдущие .

Неявные методы —очередное приближение не выражается явно через предыдущие .

3-8, Постановка задачи поиска корня нелинейного уравнения:

Постановка задачи поиска корня нелинейного уравнения. Метод бисекции. (см документ пдф)

Постановка задачи поиска корня нелинейного уравнения. Метод простой итерации. (см документ пдф)