Определение внутренних усилий в арке
Получим выражения внутренних усилий, возникающих в произвольном се-чении k. Для этого покажем часть арки ле-вее этого сечения (рис. 4.8). Поперечную силу Q будем ориентировать перпендику-лярно касательной, а продольную N – вдоль касательной, проведенной к точке k.
Изгибающий момент М к найдем изуравнения статики: ∑M k лев. ч=0;
Первые два слагаемых в этом выражении – балочный момент в сечении k.
___ Поперечную силу Q k найдем из уравнения статики∑ Y лев. ч=0;
Q k =(V A − q ⋅(x k − a))⋅cosϕ − H ⋅sin ϕ. Q k Б
___ Продольную силу N к определим из уравнения∑ X лев. ч=0;
N k = −(V A −q ⋅(x k −a))⋅sinϕ − H ⋅cosϕ.
Q k Б
Приведем окончательные выражения усилий:
Из этих выражений видно, что изгибающий момент в сече-ниях арки меньше по сравнению с балочным. Поперечная сила в ар-ке также уменьшена по сравнению с балочной. Однако в арке возникает сжимающая продольная сила значительной величины.В этом случае го-ворят, что арка работает преимущественно на сжатие . Хотя деформиро-ванное состояние зависит от характера внешней нагрузки.
4.4. Особенности расчета трехшарнирных рам
Так как в элементах рам возникает три внутренних усилия: изгибаю -
щий момент , поперечная сила и продольная сила,то аналитический расчетэтих конструкций состоит в построении эпюр M, Q и N.
Пример 4.1. Дана3-х шарнирная рама(рис. 4.9).Требуетсяопределить ре-акции опор и построить эпюры M, Q и N.
Рис . 4.9
Решение .
1. Определяем опорные реакции, используя тот же алгоритм, что и при расчете трехшарнирной арки.
Реакция V B отрицательна, поэтому изменим ее направление на противопо-ложное (показано пунктиром).
Реакция отрицательна, поэтому изменим ее направление на противопо-ложное (показано пунктиром). Проверка:
∑ X = 0; H A+H B −12 =5,33 − 6,66 +12 = 11,99 −12 = −0,01 ≈ 0; 0 ≡ 0.
Проверка выполняется.
2. Предлагается самостоятельно построить эпюры M, Q, N по харак-терным точкам. Порядок построения рассмотрен в приложении В.
3. На рис. 4.10 показаны эти эпюры, построенные в программной системе COMPASS.
Эп . М | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Эп. Q | Эп. N | ||
| |||
Рис . 4.10 | |||
56
Пример 4.2. Данаарка(рис. 4.11),загруженная силовой нагрузкой.Ось ар-ки очерчена по параболе y = 4L2f x ( L − x). Требуется построить эпюры M , Q и N от действующей нагрузки.
Решение | ||||||||||||||||||||||||||
y | q=3,5кН/м | 1. Определение опорных реакций | ||||||||||||||||||||||||
Вертикальные реакции: | ||||||||||||||||||||||||||
5 | ∑M B = 0; | −V A ⋅30 + 3,5 ⋅15 ⋅22,5 = 0; | ||||||||||||||||||||||||
4 | С | |||||||||||||||||||||||||
2 | 3 ϕ | 6 | 7 | 8 | V A = | 1181,25 | =39,375 кН. | |||||||||||||||||||
1 |
|
| f=3,75м |
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||
A | 30 | |||||||||||||||||||||||||
B | x | |||||||||||||||||||||||||
V A | H | H | ∑M A = 0; | V B ⋅30−3,5⋅15⋅7,5=0; | ||||||||||||||||||||||
3м 3м 3м 3м 3м 3м 3м 3м 3м V B | ||||||||||||||||||||||||||
3м | ||||||||||||||||||||||||||
393,75 | ||||||||||||||||||||||||||
L=30м | V B = |
| =13,125 кН. | |||||||||||||||||||||||
30 | ||||||||||||||||||||||||||
q=3,5кН/м | Проверка: | |||||||||||||||||||||||||
A | С | B | ∑Y = 0; V A + V B −3,5 ⋅15 = | |||||||||||||||||||||||
V A б | L/2=15м | L/2=15м | б | 39,375 +13,125 −52,5 = 0; 0 ≡ 0. | ||||||||||||||||||||||
V B | Горизонтальные реакции | |||||||||||||||||||||||||
Мб ( кНм )
0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | ||
0 | 0 | 0 | ||||||||||
50 | 39,375 | |||||||||||
100 | 78,75 | |||||||||||
118,125 | ||||||||||||
150 | 102,375 | |||||||||||
157,5 | ||||||||||||
200 | 173,375 | 196,875 | |
250 | 212,625 | 220,5 | |
∑M C Л . Ч . =0 V A ⋅15−H A ⋅3,75−3,5⋅15⋅7,5 =0 | |||||||
H = | 39,375⋅15+3,5⋅15⋅7,5 | =52,5 кН. | |||||
|
| ||||||
A | 3,75 | ||||||
∑M C Пр . Ч . = 0; | V B ⋅15− H B ⋅3,75=0, | ||||||
H B = | 13,125 ⋅15 | = 52,5 кН. | |||||
| 3,75 | ||||||
50 | 39,375 |
Q б ( кН )
40
28,875
20
10
20
13,125- 13,125- 13,125- 13,125- 13,12513,125-
-
Рис . 4.12
Проверка:
∑X = 0; H A−H B = 0;
H A = H B = H =52,5; 0≡0.
3. Эпюры M, Q, N строим по характер-ным точкам, используя выражения:
M k = M k Б − H ⋅ y k ;
Q k = Q K Б ⋅cosϕ k − H ⋅sin ϕ k ;
N k = −(Q K Б ⋅sin ϕ k + H ⋅cosϕ k ).
57
Вычисления удобнее производить в табличной форме. Заполнять таблицу можно вручную, но более эффективно использовать для этого программы Excel или MathCAD. Порядок расчета следующий:
а ) разбиваем ось x на8 -10частей(в данном случае−на10),получая,таким образом, характерные точки, в которых будут определяться усилия
(столбец 3);
б ) определяем в характерных точках значения у,используя уравне-
ние y( x ) = 4 f x( L − x), по которому очерчена ось арки (столбец 4);
L2
в ) строим эпюры M б и Q б в балке того же пролета при том же загру-жении (рис. 4.12). Значения M б и Q б в характерных точках заносим в таб-
лицу (столбцы 5, 11);
г ) определяем в каждой характерной точке значение tg ϕ,где φ –уголмежду касательной в характерной точке арки и осью x (в шарнире C он ра-
вен нулю). Для параболы tg ϕ = ∂y = | 4 f | (l −2x) | (столбец 7); | ||||||||||||||||||
∂x | l 2 | ||||||||||||||||||||
д ) вычисляемsin ϕ = | tg ϕ | ; cosϕ = | 1 | (столбцы 9, 10); | |||||||||||||||||
1 + tg ϕ2 | 1 + tg ϕ2 | ||||||||||||||||||||
е ) используя формулы(4.1−4.3),определяем значения M, Q, N в ха- | |||||||||||||||||||||
рактерных точках арки (столбцы 6, 12, 13). По этим значениям строим | |||||||||||||||||||||
эпюры M, Q и N (рис. 4.13). | |||||||||||||||||||||
Таблица 4.1
2019-08-13 | 348 | Обсуждений (0) |
5.00
из
|
Обсуждение в статье: Определение внутренних усилий в арке |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы