Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

 

Задача 35

Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень равна 0,6. Стрелок произвел 4 выстрела. Найти вероятность того, что все три выстрела дали попадание.

Решение

События независимы, поэтому можно применить теорему умножения вероятностей:

Р(1)=Р(2)=Р(3)=Р(4)= .

Ответ: 0,1296.

 

 

Задача 36

Брошены 3 игральные кубика. Найти вероятность того, что на трех кубиках одновременно выпадут шесть очков.

Решение

События независимы, поэтому можно применить теорему умножения вероятностей:

Р(1,2,3)= .

Ответ: .

 

Задача 37

Вероятность поражения цели первым орудием равна 0,9, а вторым 0,7.

а) Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями;

б) Найти вероятность совместного не поражения цели двумя орудиями;

в) Найти вероятность того, что первое орудие поразит цель, а второе не поразит.

г) Найти вероятность того, что первое орудие не поразит цель, а второе поразит.

 

Решение

1. Пусть событие А – поражение цели первым орудием. Событие В – поражение цели вторым орудием. События независимы, поэтому можно применить теорему умножения вероятностей для независимых событий:

 

а) Р(АВ)= ;

т. к. Р(А)=0,9; Р(В)=0,7

Р(АВ)= ;

 

б) Р( )= ;

т. к. Р( )=1-0,9=0,1; 

Р( )=1-0,7=0,3;

Р( )= ;

 

в) Р( )= ;

т. к. Р( )=1-0,9=0,1; 

Р(В)=0,7;

Р( )= ;

 

г) Р( )= ;

т. к. Р(А)=0,9; 

Р( )=1-0,7=0,3;

Р( )= .

Ответ: а)0,63; б) 0,03; в) 0,07; г) 0,27.

 

Задача 38

Найти вероятность появления герба при одновременном бросании 5 монет.

Решение

Т. к. события «появление герба на одной монете», «появление герба на второй монете», «появление герба на третьей монете», «появление герба на четвертой монете», «появление герба на пятой монете» не зависимые, можно применить теорему умножения вероятностей для независимых событий:

Р(1,2,3,4,5)= .

Ответ: .

 

Задача 39

Имеется 3 ящика, содержащих по 5 деталей. В первом ящике 1 стандартная деталь, во втором 2, в третьем 3. Из каждого ящика на удачу вынимается по одной детали. Найти вероятность того, что все три детали окажутся стандартными.

Решение

1. Пусть событие А – из первого ящика взята стандартная деталь, В – из второго ящика взята стандартная деталь, С – из третьего ящика взята стандартная деталь. АВС – из трех ящиков взяты стандартные детали.

2. Определим вероятность наступления события А:

Р(А)=

3. Определим вероятность наступления события В:

Р(В)=

4. Определим вероятность наступления события С:

Р(С)=

5. События А, В, С – не зависимые, поэтому можно применить теорему умножения вероятностей:

Р(АВС)=

Р(АВС)= .

Ответ: .

 

Задача 40

Имеются 2 барабана, в которых находятся выигрышные билеты. В первом барабане из 100 билетов выигрышных 6. Во втором барабане из 150 билетов выигрышных 9. Из каждого ящика на удачу вынимается по одному билету.  Найти вероятность того, что оба билета окажутся выигрышными. Найти вероятность того, что оба билета окажутся невыигрышными.

Решение

1. Пусть событие А – из первого барабана взят выигрышный билет, В – из второго барабана взят выигрышный билет, АВ – из двух барабанов взяты выигрышные билеты.

2. Определим вероятность наступления события А:

Р(А)=

3. Определим вероятность наступления события В:

Р(В)=

4. События А, В – не зависимые, поэтому можно применить теорему умножения вероятностей:

Р(АВ)=

Р(АВ)= .

5. Определим вероятность не наступления события :

Р( )=

6. Определим вероятность не наступления события :

Р( )=

7. События ,  – не зависимые, поэтому можно применить теорему умножения вероятностей:

Р( )=

Р( )= .

Ответ:  и

 

Вероятность появления хотя бы одного события

Задача 41

Три электрические лампочки последовательно включены в сеть. Вероятность того, что одна любая лампочка перегорит равна 0,48. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

Решение

1. Пусть событие А – нет тока в цепи, т. е. перегорела одна любая лампочка.

2. Вероятность появления хотя бы одного события, в данном случае  А, в случае, если вероятность наступления событий одинакова,  определяется по формуле:

Р(А)= , где q – вероятность ненаступления события А, n – количество опытов.

3. Искомая вероятность: Р(А)= .

Ответ: .

Задача 42

Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: Р₁=0,8; Р₁=0,76; Р₁=0,92. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из трех орудий. 

Решение

1. Пусть событие А –  хотя бы одно попадание при одном залпе из трех орудий.

2. Вероятность появления хотя бы одного события, в данном случае А, в случае, если вероятность наступления событий разная,  определяется по формуле:

Р(А)= , где q – вероятность ненаступления события А, n – количество опытов.

3. Искомая вероятность: Р(А)= .

Ответ: .

 

Формула полной вероятности

Задача 43

Студент Иванов выучил все   экзаменационных билетов, но из них на «пять» – лишь . Определить, зависит или нет вероятность извлечения «счастливого» билета (событие А) от того, первым или вторым выбирает Иванов свой билет.

Решение

1. Рассмотрим две ситуации: Иванов выбирает билет первым и Иванов выбирает билет вторым.

2. Если Иванов выбирает билет первым, вероятность вытащить «счастливый билет» равна:

3. При втором случае необходимо ввести гипотезы:  – первый извлеченный билет оказался «счастливым»,    – «несчастливым».

4. Определим вероятность того, что первый билет оказался счастливым: .

5. Определим вероятность того, что первый билет оказался несчастливым. Всего «несчастливых» билетов 30-6=24 из 30 имеющихся. Тогда .

6. Определим вероятность события в предположении первой гипотезы. После того, как был извлечен первый счастливый билет, осталось 30-1=29 билетов, из которых 6-1=5 счастливых. Тогда,    .

7. Определим вероятность события в предположении второй гипотезы. После того, как был извлечен первый несчастливый билет, осталось 30-1=29 билетов, из которых по-прежнему 6 счастливых. Тогда,

8. По формуле полной вероятности имеем: .

9. Поскольку результаты расчетов в п. 2 и 8 совпадают, следовательно, вероятность извлечения «счастливого» билета от того, первым или вторым выбирает Иванов свой билет не зависит.

Задача 44

Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь из первого набора стандартная равна 0,44. вероятность того, что деталь из второго набора стандартная равна 0,67. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора – стандартная.

Решение

1. Пусть событие А – взятая деталь – стандартная.

2. Эта деталь может быть извлечена из первого набора (событие В₁), либо из второго набора (событие В₂).

3. Вероятность того, что деталь взята из первого набора равна Р(В₁)= .

4. Вероятность того, что деталь взята из второго набора равна Р(В₂)= .

5. Тогда по формуле полной вероятности имеем:

Ответ: 0,555