Вероятность гипотез. Формула Бейеса

Задача 45

Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру 0,55, ко второму 0,45. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной вторым контролером, равна 0,99. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение

1. Пусть А – событие, заключающееся в том, что годная деталь признана стандартной.

2. Примем две гипотезы: Н₁ – деталь принял первый контролер; Н₂ – деталь принял второй контролер. 

3. По условию задачи имеем: Р(Н₁)=0,55, Р(Н₂)=0,45, . Тогда вероятность события А при принятии гипотезы 1 найдем по формуле Бейеса:

.

Вероятность гипотезы Н₁ равнялась 0,55, а после того, как стали известны результаты испытания уменьшилась до 0,537.

Ответ: 0,537

Задача 46

Врач после осмотра больного заключил, что у больного возможно одно из двух заболеваний, которые мы зашифруем номерами 1 и 2, причем степень своей уверенности в отношении правильности диагноза он оценивает как 40% и 60% соответственно. Для уточнения диагноза, больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании 1 в 90 % случаев и при заболевании 2 – в 20 % случаев. Анализ дал положительную реакцию. Как изменится мнение врача после этого?

Решение

1. Обозначим через А  событие, означающее, что анализ дал положительную реакцию.

2. Естественно ввести следующие гипотезы:  – имеет место заболевание 1;  – имеет место заболевание 2.

Из условий задачи ясно, что вероятности гипотез равны Р(Н₁)=0,4, Р(Н₂)=0,6.

3. Условные вероятности события А при наличии гипотез     и   равны 0,9 и 0,2 соответственно. Используя формулу Байеса , находим .

Итак, врач с большей уверенностью признает наличие заболевания 1.

Случайные величины и их законы

Задача 47

В денежной лотерее выпущено 200 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 500 рублей и десять выигрышей по 100 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца первого лотерейного билета и представить его рядом и многоугольником распределения.

Решение

1. Напишем возможные значения СВ Х:

x₁=500, x₂=100, x₃=0

2. Определим количество невыигрышных билетов:

К _{невыигр}=200-1-10=189

3. Найдем вероятности значений СВ Х:

р₁= , р₂= , р₃=

4. Проведем контроль:

Т. к. события «первый билет – выигрыш 500 рублей», «первый билет – выигрыш 100 рублей», «первый билет – выигрыш 0 рублей» представляют собой полную группу, следовательно, р₁+р₂+р₃=1.

Получаем + + =1.

5. Напишем ряд распределения СВ Х:

X	500	100	0
Р

6. Построим многоугольник распределения:

Задача 48

В денежной лотерее выпущено 200 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 500 рублей и десять выигрышей по 100 рублей. Покупатель первого билета ничего не выиграл. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца второго лотерейного билета и представить его рядом и многоугольником распределения.

Решение

1. Напишем возможные значения СВ Х:

x₁=500, x₂=100, x₃=0

2. Определим количество невыигрышных билетов:

2.1. Осталось 99 билетов, причем из них невыигрышных

К _{невыигр}=99-1-10=88

3. Найдем вероятности значений СВ Х:

р₁= , р₂= , р₃=

4. Проведем контроль:

Т. к. события «второй билет – выигрыш 500 рублей», «второй билет – выигрыш 100 рублей», «второй билет – выигрыш 0 рублей» представляют собой полную группу, следовательно, р₁+р₂+р₃=1.

Получаем + + =1.

5. Напишем ряд распределения СВ Х:

X	500	100	0
p

6. Построим многоугольник распределения: