Формулы преобразования аффинной систем координат
1. Пространства. Пусть в пространстве даны две аффинные системы координат (О, v1, v2, v3) и (О¢, v1¢, v2¢, v3¢), первую систему координат называем старой, а вторую новой. Пусть точка О¢ в системе (О, v1, v2, v3) имеет координаты O¢(x0, y0, z0), а T = (tij) матрица перехода от базиса старой системы координат к базису новой. Пусть точка A имеет в старой и новой системах координат соответственно координаты A(x, y , z) и A(x¢, y¢, z¢). По определению координат точки имеем, =xv1 + yv2 + zv3, = x¢v1¢+ y¢v2¢ + z¢v3¢, =x0v1 + y0v2 + z0v3. По определению матрицы перехода от одного базиса к другому имеем: v1¢ = t11v1 + t21v2 + t31v3, v2¢ = t12v1 + t22v2 + t32v3, v3¢ = t13v1 + t23v2 + t33v3. Так как , то получаем другое представление вектора = (x0v1 + y0v2 + z0v3) + (x¢v1¢+ y¢v2¢ + z¢v3¢) = = (x0v1 + y0v2 + z0v3) + x¢(t11v1 + t21v2 + t31v3) + y¢(t12v1 + t22v2 + t32v3) + z¢(t13v1 + t23v2 + t33v3) = = (x0 + x¢t12 + y¢t12 + z¢t13)v1 + (y0 + x¢t22 + y¢t22 + z¢t23)v2 + + (z0 + x¢t32 + y¢t32 + z¢t33)v3. В силу единственности представления вектора через векторы базиса получаем формулы x = x0 + t12x¢ + t12y¢ + t13z¢, y = y0 + t22x¢ + t22y¢ + t23z¢, (3.1) z = z0 + t22x¢ + t22y¢ + t23z¢, которые называются формулами преобразования координат точки при переходе от одной системы координат к другой. Формулы (3.1) удобно записать в матричной форме: . (3.2) 2. Плоскости. Пусть на плоскости даны две аффинные системы координат (О, v1, v2) и (О¢, v1¢, v2¢), (старая и новая). Пусть точка О¢ в системе (О, v1, v2) имеет координаты O¢(x0, y0), а T = (tij) матрица перехода от базиса старой системы координат к базису новой. Пусть точка A имеет в старой и новой системах координат соответственно координаты A(x, y) и A(x¢, y¢). Повторяя рассуждения предыдущего пункта, получим следующие формулы преобразования координат плоскости: x = x0 + t11x¢ + t12y¢, y = y0 + t22x¢ + t22y¢, (3.3) которые удобно записать в матричной форме: . (3.4) 3. Прямой. Пусть на прямой даны две аффинные системы координат (О, v1) и (О¢, v1¢), (старая и новая). Пусть точка О¢ в системе (О, v1) имеет координаты O¢(x0), а T = (t11) матрица перехода от базиса старой системы координат к базису новой. Пусть точка A имеет в старой и новой системах координат соответственно координаты A(x) и A(x¢). Повторяя рассуждения предыдущего пункта, получим следующие формулы преобразования координат плоскости: x = x0 + t11x¢. (3.5) 4. Параллельного переноса. Осуществим параллельный перенос системы координат (О, v1, v2, v3), так, чтобы ее новое начало оказалось в точке O¢(x0, y0, z0). Получим новую систему координат (О¢, v1, v2, v3). Матрица T = (tij) перехода от базиса v1, v2, v3 к базису v1, v2, v3 является единичной матрицей и формулы (2.1) принимают вид: x = x0 + x¢, y = y0 + y¢, (3.6) z = z0 + z¢, которые называются формулами параллельного переноса .В случае плоскости они принимают следующий вид, x = x0 + x¢, y = y0 + y¢, (3.7) в случае прямой - x = x0 + x¢.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (261)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |