Основные задачи, решаемые в прямоугольной системе координат
В прямоугольной системе координат решаются все те задачи, которые решаются в аффинной системе координат, а решаются так называемые метрические задачи, связанные с измерением отрезков, углов, площадей и объемов. 1. Измерение длины отрезка. Найти расстояние между точками A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) в прямоугольной системе координат Oxyz. Расстояние меду точками и равно длине вектора = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1). (5.1) По формуле для длины вектора находим . (5.2) Для точек A(x1, y1), B(x2, y2) плоскости Oxy формула (5.2) принимает вид , (5.3) а для точек A(x1), B(x2) прямой Ox - . (5.4) 2. Измерение углов. Угол A в треугольнике ABC равен углу между векторами a = и b = . Угол j между ненулевыми векторами a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) легко находится из определения скалярного произведения векторов ab = |a||b|cos j и формулы для скалярного произведения векторов в координатной форме: . (5.5) Для векторов плоскости формула (5.5) принимает вид: . (5.6) Из формулы для определения модуля векторного произведения векторов легко найти формулу для синуса угла между векторами a и b. . (5.7) Для случая пространства углы между векторами неориентированные и не имеют знака. Для случая плоскости углы между векторами ориентированные и имеют знак. Угол Ð( a, b) называется положительным, если поворот от вектора к по наименьшему углу совершается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. По определению косинуса и синуса произвольного угла имеем . Так как j = b - a, , то получаем . Последнюю формулу можно записать в виде . (5.8) Из формул (5.6) и (5.8) получаем формулу для тангенса угла между векторами . (5.9) 3. Измерение площадей. Любой многоугольник можно диагоналями разбить на треугольники, поэтому вычисление площади любого многоугольника сводится к вычислению площади треугольника. Вычислим площадь треугольника ABC, у которого заданы координаты вершин A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) , С(x3, y3, z3) в прямоугольной системе координат Oxyz. Рассмотрим векторы = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1). По определению векторного произведения векторов площадь s треугольника ABC, вычисляется по формуле . Тогда получаем . (5.10) Отсюда находим . Площадь плоского треугольника ABC, у которого заданы координаты вершин A(x1, y1), B(x2, y2) , С(x3, y3) в прямоугольной системе координат Oxy можно найти, используя формулу синуса угла между векторами , (5.11) где стоит знак "+", если поворот от вектора к вектору по наименьшему углу осуществляется против часовой стрелки, т.е. обход треугольника ABC осуществляется против часовой стрелки, знак "-" - в противном случае. В первом случае говорят, что треугольник ориентирован положительно, а во втором - отрицательно. 4. Измерение объемов. Любой многогранник можно плоскостями разбить на треугольные пирамиды, поэтому вычисление объема любого многогранника сводится к вычислению объема треугольной пирамиды. Вычислим объем треугольной пирамиды ABCD, у которой заданы координаты вершин A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) , С(x3, y3, z3), , С(x4, y4, z4) в прямоугольной системе координат Oxyz. Рассмотрим векторы = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) , = (x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1). По свойству смешенного произведения векторов модуль смешенного произведения векторов площадь объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Отсюда об]ем v треугольной пирамиды ABCD, вычисляется по формуле . Тогда получаем . (5.12)
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (221)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |