Задачи на взаимопринадлежность (задачи 1 группы)

Если пересекаются два элемента, один из которых занимает проецирующее положение, то одна проекция ответа (точка или линия пересечения) уже есть на комплексном чертеже ( она совпадает с проекцией проецирующего элемента), а вторая проекция находится из условия принадлежности первого ответа элементу общего положения.

Линия и плоскость.

Общее множество линии и плоскости – точка.

Пример 1. Дана плоскость Θ (∆ АВС), прямая i ⊥ П₂. Необходимо найти точку пересечения прямой с плоскостью. Воспользуемся условием решения задачи на взаимопринадлежность. Из двух данных элементов прямая проецирующая. Если она перпендикулярна полю П₂, значит на нем есть одна проекция ответа – это точка преесечения К. К₂ ≡i₂. Вторую проекцию ответа ищем из условия принадлежности точки плоскости, т.к. плоскость является непроецирующим элементом. Точка принадлежит плоскости, если принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости. Определяем видимость прямой относительно плоскости при помощи конкурирующих точек2 и 3 (рис. 5.2.1.1).

Рис. 5.2.1.1                     Рис. 5.2.1.2

Пример 2. Дана плоскость Σ (Σ₁) и прямая m. Необходимо найти точку пересечения прямой и плоскости. Исходя из чертежа видим, что плоскость Σ горизонтально-проецирующая (задана следом) Σ ⊥ П₁, а прямая m общего положения. Проекция точки пересечения К (К₁) уже есть на комлексном чертеже. Вторую проекцию находим из условия принадлежности прямой m. Точка принадлежит прямой, если проекции точки принадлежат проекциям этой прямой. Определяем видимость при помощи конкурирующих точек. Но иногда видимость можно определить по представлению, не прибегая к методу конкурирующих точек (рис. 5.2.1.2).

Линия и поверхность.

Общее множество линии и поверхности – точки.Их количество зависит от порядка поверхности, от того имеем ли мы дело с полной поверхностью или с ее отсеком, с прямой или кривой линией.

Пример 1. Дано: Φ – коническая поверхность, l – прямая, l ⊥ П₂(рис. 5.2.2.1). Найти линию пересечения прямой с поверхностью конуса. Исходя из чертежа видим, что прямая l фронтально-проецирующая, следовательно фронтальная проекция ответа, а это две точки (входа и выхода прямой)– А(А₂)и В(В₂). Горизонтальные проекции этих точек ищем из условия их принадлежности поверхности конуса. Точки принадлежат конусу, если принадлежат либо образующим, либо окружностям, лежащих на поверхности конуса. В нашем случае мы использовали образующие. На горизонтальной проекции точки видимы. Часть проекции прямой между точками А и В находится внутри конуса, следовательно она невидима. На поле П₂ фронтальная проекция точки В невидима.

Рис. 5.2.2.1

Две плоскости

Общее множество двух плоскостей – прямая линия.

Пример 1. Дано Λ (m // n) – плоскость общего положения, Θ (Θ₂) – фронтально-проецирующая плоскость. Найти линию пересечения плоскостей. Одна проекция линии пересечения уже есть на фронтальной плоскости проекций – это линия l (l₂). Если прямая принадлежит плоскости, то она имеет с ней как минимум две общие точки – 1 и 2. Находим горизонтальные проекции точек и следовательно l (l₁) (рис. 5.2.3.1)

               Рис. 5.2.3.1