Плоскость и поверхность

Общее множество плоскости и поверхности в общем случае кривая линия.

Пример 1. Дано: Ф – сфера и Θ – плоскость. Найти линиюпересечения поверхностей.

Фронтально-проецирующая плоскость Θ пересекается со сферой по эллипсу, который на поле П₂ спроецировался в прямую линию. Горизонтальную проекцию эллипса строим по точкам, исходя из принадлежности их сфере. Точка принадлежит сфере, если принадлежит окружности, лежащей на поверхности сферы.

Рис. 5.2.4.1

Сначала строим проекции опорных точек – точек видимости А, В, D, M, N и С. Для построения случайных точек 1 и 2 используем окружности (рис. 5.2.4.1).

Пример 2. Дано Ф – призма и Г (m ∩ n). Найти линию пересечения поверхностей.

Призма перпендикулярна П₁ – значит на поле П₁ находится горизонтальная проекция ответа – это ломаная линия l (l₁). Фронтальную проекцию этой линии строим на основе принадлежности ее плоскости Г (рис. 5.2.4.2).

Рис. 5.2.4.2

Две поверхности

Общее множество двух поверхностей в общем случае кривая линия, которая можеит распадаться на два и более участков.

Дано: Ф – поверхность цилиндра

Θ – поверхность конуса (рис. 5.2.5.1).

Найти линию пересечения конуса и цилиндра.

Цилиндр фронтально-проецирующий, следовательно на фронтальной плоскости проекций есть одна проекция ответа. Она совпадает с фронтальной проекцией цилиндра. Обозначим опорные точки А, В, С, D, M , N , E , F , K ,Tна поле П₂. Горизонтальные и профильные проекции этих точек находим из условия принадлежности их образующим и окружностям, лежащим на поверхности конуса.

Случайные точки 1, 2, 3, 4 найдены с помощью окружностей, проведенных на поверхности конуса.

Данные поверхности имеют общую плоскость симметрии – фронтальную плоскость Г. Поэтому горизонтальная и профильная проекции искомой кривой пересечения симметричны относительно соответствующих плоскостей Г₁ и Г₃.Определяем видимость линии пересечения и соответственно поверхностей в соответствии с расположением частей полверхностей относительно плоскостей проекций.

Рис. 5.2.5.1

Дано: Ф – четырехгранная правильная пирамида; Δ – прямой круговой цилиндр. Найти линию пересечения поверхностей. Ф∩Δ=1;2;3;4;5;6;7;8 (рис. 5.2.5.2).

Из двух поверхностей, представленных на чертеже одна являетсяпроецирующей – это прямой круговой цилиндр. Он перпендиукулярен горизонтальной плоскости проекций, следовательно на П₁ уже есть проекция линии пересечения. Она совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра.

Точка принадлежит пирамиде, если она принадлежит либо образующей, либо линии параллельной основанию, лежащих на поверхности пирамиды. Точки 1;2;3;4 принадлежат ребрам пирамиды, следовательно находятся на поле П₂по линиям связи.                                                         

Через точки 5 и 6, которые лежат на очерковых образующих цилиндра проводим квадрат, параллельный основанию. Одновременно на этом квадрате лежат промежуточные точки (7; 8 и т.д. ). Остальные промежуточные точки находятся аналогично предыдущим.

       Соединяем точки по порядку замкнутой кривой линией. Линия будет полностью невидима, т.к. находится внутри пирамиды

На основании показанного примера выполняется упражнение расчетно-графической работы «Позиционные задачи» (рис. 5.2.5.2).

Рис. 5.2.5.2

Лекция 6