Практическое применение метода хорд

 

Исследование функции

 

 

Возьмем для исследования функцию  и определим точность решения как =0,001.

 

Рисунок 2 - График функции

 

Визуально определяем границы отрезка, на котором находится корень. Выделяем отрезок [a,b], (а= -0,45, b= -0,3).

1. Проверяем существование корня на отрезке по условию :

 

Убедимся, что функция принимает на концах указанных отрезков значения разных знаков

 

0,36<0

 

Условие выполнено, следовательно, на данном промежутке корень есть.

2. Далее исследуем функцию на монотонность:

 

75.1115>0

 

Экстремумов на выбранном отрезке нет.

3. Проверяем функцию на единственность корня

 

67.86>0

 

На данном промежутке имеется только один корень

4. Выбор точки х₀ зависит от того совпадает ли её знак со знаком второй производной данной функции.

 

>0

 

Из условия следует, что х₀= a=-0.45, тогда за х₁ принимаем b - х₁= b=-0.3

 

 

5. Исходя из графика мы приняли за x₀=-0.45 и x₁=-0.3. Найдем значение функции в этих точках:

 

 

Формула для решения

 

 

Условие выполнено, необходимая точность достигнута. Итерационный процесс можно прекратить. Добиться указанной точности нам удалось на 4-ой проведенной итерации.

Исследование функции

 

 

Возьмем для исследования функцию  и определим точность решения как =0,001.

 

Рисунок 3 - График функции

Визуально определяем границы отрезка, на котором находится корень. Выделяем отрезок [a,b], (а=-0,4, b=0,1).

1. Проверяем существование корня на отрезке по условию :

 

 

Убедимся, что функция принимает на концах указанных отрезков значения разных знаков

 

0,04327 <0

 

Условие выполнено, следовательно, на данном промежутке корень есть.

2. Далее исследуем функцию на монотонность:

 

 

Экстремумов на выбранном отрезке нет.

3. Проверяем функцию на единственность корня:

 

  >0

 

На данном промежутке имеется только один корень.

4) Выбор точки х₀ зависит от того совпадает ли её знак со знаком второй производной данной функции.

 

>0

 

Из условия следует, что х₀= a=-0.4, тогда за х₁ принимаем b - х₁= b=0.1

 

 

5. Исходя из графика мы приняли за x0=-0.4 и x1=0.1. Найдем значение функции в этих точках:

 

 

Формула для решения

 

 

Условие выполнено, необходимая точность достигнута. Итерационный процесс можно прекратить. Добиться указанной точности нам удалось на 6-ой проведенной итерации.

Метод касательных

 

Его отличие от предыдущего метода состоит в том, что на k-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y= F ( x) при х= c_k-1 и ищется точка пересечения касательной с точкой абсцисс. При этом необязательно задавать отрезок [a, b], содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корнях.

 

Рисунок 4 - Метод касательных

 

Уравнение касательной, проведенной к кривой y= F ( x) в некоторой точке с координатами х₀ и F (х₀) имеет вид:

y- F (х₀) = F’ (х₀) ( x-х₀).

 

Отсюда найдем следующее приближение корня х как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у=0):

х=х₀ - F (х₀) / F’ (х₀).

 

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных. Формула для n-го приближения имеет вид:

х _n=х _n-1 - F (х _n-1) / F’ (х _n-1), n=1,2,…

 

При этом необходимо, чтобы выполнялось условие F’ (х _n-1) 0.

Для окончания итерационного процесса используются те же условия, что и в методе хорд.