Классическая теория электропроводности

Классическая теория электропроводности объясняет различные свойства вещества существованием и движением в нем электронов, а сами электроны проводимости рассматриваются как электронный газ, подобный идеальному одноатомному газу. При этом предполагается, что движение электронов подчиняется законам классической механики Ньютона.

Взаимодействием электронов между собой пренебрегают и считают, что они взаимодействуют только с положительными ионами решетки. По этой теории электронный газ должен подчиняться законам идеального газа. Согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы, на один электрон приходится средняя кинетическая энергия теплового движения

                                                    Е_к = kT,                                             (4.1)

гдеk– постоянная Больцмана, Т – температура.

При тепловом движении электроны испытывают соударения. Путь, проходимый электронами между двумя последовательными соударениями, называют длиной свободного пробега .

Предполагается, что при каждом соударении электрон полностью передает свою энергию ионам решетки и начальная скорость последующего движения электрона равна нулю.

Если по проводнику течет постоянный ток, то внутри проводника существует электрическое поле напряженностью Е. На каждый электрон со стороны электрического поля действует сила F= еЕ, где е – заряд электрона. Под действием этой силы электрон приобретает ускорение а, которое можно определить из равенства m_ea = еЕ, откуда

а = E

(m_e – масса электрона)

Если - [U2] среднее время между двумя последовательными соударениями, то к концу свободного пробега электрон приобретает скорость = E . Средняя скорость упорядоченного движения электронов

                                           E                                     (4.2)

(начальная скорость полагается равной нулю, поэтому движение считается равноускоренным).

Среднее время между двумя последовательными соударениями можно определить, если знать длину свободного пробега и среднюю скорость теплового движения :

                                                 .                                          (4.3)

Вообще, t , но соотношение (4.3) справедливо, так как

Подставив  из формулы (4.3) в формулу (4.2) получим

                                            .                                    (4.4)

Известно, что плотность j тока в проводнике пропорциональна концентрации n свободных электронов в нем и скорости их движения

                                                 j = ne .                                          (4.5)

Подставив (4.4) в (4.5), получим

                                                                                     (4.6)

где

                                                                                            (4.7)

–[U3] удельная проводимость материала проводника (величина, обратная его удельному сопротивлению).

Из выражения (4.6), представляющего закон Ома, следует: плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля, что совпадает с законом Ома в дифференциальной форме.

Из формулы (4.6) легко получить закон Ома в виде I = U / R, для этого ее правую и левую части надо умножить на S – площадь поперечного сечения проводника. Учитывая, что E = U / I (поле внутри проводника считаем однородным); следовательно,

I = .

На основании электронной теории электропроводимости металлов можно объяснить зависимость сопротивления проводников от температуры. С повышением температуры его удельное сопротивление увеличивается, а электропроводимость уменьшается. Анализируя выражение (4.7), видим, что электропроводимость пропорциональна концентрации n электронов проводимости и средней длине свободного пробега , т.е. чем больше длина свободного пробега , тем меньшую помеху для упорядоченного движения электронов представляют соударения. Электропроводимость обратно пропорциональна средней тепловой скорости движения. Тепловая скорость  при повышении температуры возрастает пропорционально что приводит к уменьшению электропроводимости и увеличению удельного сопротивления проводников. Анализируя формулу (4.7) можно, кроме того, объяснить зависимость  и от рода проводника.

На основании классической электронной теории проводимости металлов можно объяснить закон Джоуля – Ленца.

Упорядоченное движение электронов происходит под действием сил поля. Как было сказано выше, будем считать, что в момент соударения с положительными ионами кристаллической решетки электроны полностью передают ей свою кинетическую энергию. К концу свободного пробега скорость электрона , а кинетическая энергия

.

Мощность, выделяемая единицей объема металла (плотность мощности), равна произведению энергии одного электрона на число соударений в секунду l  и на концентрацию n электронов:

                                               ω =                                         (4.8)

Учитывая (4.7) имеем

                                                ω =                                          (4.9)

– закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме.

Классическая электронная теория оказалась бессильной объяснить ряд экспериментальных фактов.

Из опыта известно, что удельное сопротивление металлов в широком температурном интервале пропорционально абсолютной температуре (ρ ~ Т), в то время как электронная теория предсказывает иную зависимость ρ отТ, а именно ρ ~ .

По классической электронной теории атомная теплоемкость диэлектриков должна быть в 1,5 раз меньше, чем атомная теплоемкость металлов. Однако опытный закон Дюлонга и Пти показывает, что атомная теплоемкость всех одноатомных кристаллов (и диэлектриков, и металлов) составляет приблизительно 3R, где R –универсальная газовая постоянная.

По классической электронной теории атомная теплоемкость металлов будет складываться из теплоемкости решетки (3R) и теплоемкости электронного газа ( ):

( = 3R +  = .

Следовательно, опытные данные показывают, что при нагревании металлов энергия теплового движения свободных электронов практически не изменяется, т.е. электроны не участвуют в накоплении сообщаемой проводнику энергии. Всю сообщаемую проводнику энергию аккумулирует кристаллическая решетка

Для объяснения электропроводности металлов в классической электронной теории было сделано предположение, что электроны свободно пробегают лишь расстояния между соседними узлами решетки. Для согласования теоретических и экспериментальных значений электропроводности металлов, приходится предположить, что свободные электроны пробегают без столкновений с ионами решетки расстояния, превосходящие расстояние между ионами в десятки и даже в сотни раз (чем ниже температура, тем больше эти расстояния).

Дальнейшее развитие классической электронной теории не привели к разрешению возникших противоречий с экспериментом. Только с созданием квантовой электронной теории металлов эти противоречия были разрешены.

В основе квантовой теории металлов лежат принципиально новые (по сравнению с классической теорией) идеи.

В квантовой электронной теории металлов предполагается, что электрон имеет двойственную, корпускулярно-волновую природу. Если по классическим представлениям электрон является частицей с резко очерченными границами, которая движется по вполне определенной траектории, причем положение его в пространстве и скорость движения могут быть одновременно и однозначно определены, то по квантовым представлениям электрон обладает кроме корпускулярных свойств еще и волновыми. В результате движение электрона в пространстве следует представлять как процесс распространения своеобразной электронной волны, способной к интерференции, дифракции. Понятие траектории к электронам и другим микрочастицам неприменимо. Невозможно также одновременное и точное определение положения электрона и скорости.

Квантовая теория предполагает, что энергия свободных электронов в металле может принимать не любые, а только некоторые дискретные значения, изменения ее могут происходить не непрерывно, а лишь скачком, сразу на вполне определенную величину, в то время как классическая электронная теория металлов постулирует, что энергия свободных электронов в металле может изменяться непрерывно и на любую величину, может принимать какие угодно значения.