Непрерывные линейные операторы в нормированном
Пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
Пусть , – нормированные пространства. Определение 2 .Оператор А: Е Е1 называется непрерывнымв точке , если какова бы не была последовательность xn x0, А(xn) сходится к А(x0). То есть, при p (xn, x0) 0, p (А(xn), А(x0)) 0. Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора. Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x0, если какова бы не была окрестность[3] U точки y0 = А (x0) можно указать окрестность V точки x0 такую, что А(V) U. Иначе >0 >0, что как только p (x, x0) < , p (f(x), f(x0)) < . Теорема 1. Если линейный оператор непрерывен в точке х0 = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства. Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х0=0 тогда и только тогда, когда . Пусть оператор А непрерывен в точке х0=0. Возьмем последовательность точек пространства хn®х1, тогда хn–х1®0, отсюда А(хn–х1)®А(0)=0, т. е. А(хn–х1)®0. Так как А – это линейный оператор, то А(хn–х1)®Ахn–Ах0, а тогда Ахn-Ах0 ® 0, или Ахn®Ах0. Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х0=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства. т. д-на. Пример. Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С[0, 1] в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным. Решение. Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С[0, 1] и yn(x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает: p (yn, y) = |yn(x)- y(x))| = 0. Рассмотрим последовательность образов: F(yn) = yn(1). Расстояние в R определено следующим образом: p (F(yn), F(y)) = |F(yn) - F(y))| = | yn(1) - y(1)| |yn(x)- y(x))|=p(yn,y), то есть p (F(yn), F(y)) 0. Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С[a, b], то есть непрерывно на всем пространстве. С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности. Определение 4. Линейный оператор А: Е Е1 называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что ||Аx|| K||x||. (1) Теорема 2. Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее. Доказательство: Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k S. По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (kn), сходящуюся к k. Так как kn S, то выполняется неравенство: |А(x)| kn||x||, (x E). Переходя в этом неравенстве к пределу получаем |А(x)| k||x||, где (x E), (k S). т. д-на. Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||[4]. ||А|| K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)| ||А|x||, где ||А|| = x E. Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема. Теорема 3. Для того, чтобы линейный оператор А действующий из Ex в Ey был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен. Необходимость: Дано: А – ограничен; Доказать: А – непрерывен; Доказательство: Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле. Дано, что ||Аx|| K||x||. Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||< ||Ax|| < . Выберем так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит = , тогда если ||x||< , то ||Аx|| K||x|| < K = Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в точке. Достаточность: Дано: А – непрерывен; Доказать А – ограничен; Доказательство: Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x1 такой, что ||A x1|| > 1|| x1||. Числу 2 найдется вектор x2, что ||A x2|| > 2|| x2|| и т.д. Числу n найдется вектор xn, что ||A xn|| > n|| xn||. Теперь рассмотрим последовательность векторов yn = , где ||yn|| = . Следовательно последовательность yn 0 при n . Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аyn 0, однако ||Аyn || = ||A || = ||Axn || > n|| xn|| = 1, получаем противоречие с Аyn 0, то есть А – ограничен Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.
Примеры. 1) Покажем, что норма функционала[5] F(y) = в C[a, b], где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна . По определению 5: ||F|| = |F(x)| = | |. | | | | = | y(x)|| | |y(x)|| |; ||F|| = ( |y(x)|| |) = ||y(x) | = | | . Таким образом, норма F(y) = будет ||F|| = ; 2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1) F(y) = . По выше доказанному ||F|| = = 1.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (252)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |