Оператор интегрирования
Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций - C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом: Аf(t) = . f(t) – функция, непрерывная на [a, b],t [a,x]; x [a,b]; a,b R; Поскольку - интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела – F(x), a x b; Следовательно можно утверждать, что А – оператор.
Проверим оператор A на линейность. По определению 1: 1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g). A(f+g) = = + = A(f) + A(g). 2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f). A(kf) = = k* = kA(f). Исходя из свойств интеграла: 1. интеграл от суммы, есть сумма интегралов; 2. вынесение const за знак интеграла. Можно сделать вывод: оператор А является линейным.
3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности: p (fn(t), f0(t)) 0 p (A fn(t), Af0(t)) 0. Оператор А, действует в пространстве C[a,b], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом: p (fn(t), f0(t)) = | fn(t) - f0(t)|. Решение: p (A fn(t), Af0(t)) = | - |. | - | = | | = p (fn(t), f0(t)) = p (fn(t), f0(t)) (x-a) 0 a x b. Таким образом p (A fn(t), Af0(t)) 0. следовательно по определению 2 оператор А непрерывен.
4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3): | | | | | | | | = 0; | | = |b-a|. 0 | | |b-a|. 5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора А (используя определение ||A||= |A(f)|): ||A|| = |A(f)| = | | = (x-a); a x b; Норма оператора А: ||A|| = (b-a); 6) Обратимость интегрального оператора и его спектр. Возьмем пространство S = {f C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f|| = |f(x)|. В пространстве S рассмотрим оператор А: Аf = x [0,b], t [0,x]; Найдем оператор обратный к (A - *I), R; (A - *I)*f = g - *f(x) = g(x) (1) Пусть функции f и g дифференцируемы; Продифференцируем уравнение (1), получим: f - *f/ = g/ (2) Это уравнение (2) – дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли. - f/ = - + f/ = 0 (3) Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид: - *U*V + U/ *V + U*V/ = 0 U/ *V + U*V/ - *U*V = - U/ *V + U*(V/ - *V) = - (4) Решаем однородное линейное уравнение: V/ - *V = 0 V/ = *V = *V = LnV = + c V = * , пусть = с1 V = с1* Подставим частное решение однородного уравнения в уравнение (4) при условии, что V/ - *V = 0. Получим уравнение: U/ * с1* = - = - = - * U = - * Подставим U и V в f(x) = U(x)*V(x) и получим: f(x) = с1* *(- )* найдем интеграл Y = , интегрируем по частям: dz = g/(x)dx; z = = g(x); j = ; dj = - * dx; Y = g(x)* + * Подставим полученное значение в выражение f(x), которое примет вид: f(x) = - - * * ; Получим оператор В: Bg = - - * * ; x [0,b], t [0,x], g(x) S, - произвольное число. Оператор В не существует, если = 0; Рассмотрим ограниченность оператора В для всех R, 0; ||Bg|| = ||f(x)|| = |f(x)| = |- - * * | (| | + | * * |) | | + | * * | | | + | * |* |g(x)* |*|x| * |g(x)| + * |g(x)|* (| |*|x|) |g(x)|*( + * * *b); При > 0 = ; = 1; При < 0 =1; = ; Эти оба случая можно записать в общем виде: {1, }, тогда |g(x)|*( + * * *b) |g(x)|*( + * {1, }*b) = ||g(x)||*( + * {1, }*b); Итак: ||Bg|| ||g(x)||*( + * {1, }*b); То есть В – ограничен. Осталось проверить, что В – оператор, обратный к (A - *I). Если это так, то произведение этих операторов равно единичному оператору или же (A - *I)*(Bg) = g(x). Итак, нужно доказать, что + g(x) + * = g(x) или - * - + * * = 0; (*) Возьмем производную от левой части (*) и получим: - *g(x) - * * + * * + * * * g(x) = - *g(x) + *g(x) - * * + * * = 0; Следовательно, выражение (*) = const. Но, так как при x=0 выражение (*) (точнее его левая часть) равно 0, то и const=0. Значит В – обратный оператор к (A - *I) в S. Итак, мы получили ограниченный оператор В, обратный к (A - *I), который существует при R, за исключением =0, то есть все возможные 0 – это регулярные точки оператора А; Сам же оператор В – резольвента оператора А. Спектр оператора А – значение при которых В не существует, то есть =0.
Вывод: Оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций – C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом: Аf(t) = , где f(t) – функция, непрерывная на [a, b], t [a,x]; x [a,b]; a,b R: 1. линейный; 2. непрерывный; 3. ограниченный: 0 | | |b-a|; 4. норма A: ||A|| = (b-a); 5. резольвента оператора А: R (A) = - - * * , где x [0,b], t [0,x], g(x) S, S = {f C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f||= |f(x)|, g(x) = - *f(x), - произвольное число. 6. Спектр оператора А: =0.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (583)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |