Теорема 2. Приведение к силе и паре
Всякую неуравновешенную систему сил ( ,…, ), приложенную к твердому телу, элементарными преобразо-ваниями можно привести к системе, состоящей из силы, приложенной в произвольно заданном центре приведения О, и пары сил. Причем вектор этой силы равен главному вектору системы сил, а момент этой пары равен главному моменту данной системы относительно этого центра. В аналитической записи: ( ,…, )∾ , ( , = , ( ,– )= ( ). Доказательство. Пусть задана произвольная точка О и неуравновешенная система действующих на твердое тело сил ( ,…, ). Пусть в соответствии с теоремой 1 она приведена к системе двух сил и , приложенных соответственно в точках О и А (рис.2.2). Добавив в точке О две противоравные силы и – и сложив первую с силой , получим приложенную в О силу = + . Две оставшиеся силы: (в точке А) и – (в точке О) образуют пару ( , – ), момент которой, будучи равным моменту силы этой пары относительно точки О, будет по (2.3) равен главному моменту системы ( ,…, ) относительно О, т.е. ( ,– )= = ( ) и . Доказательство завершено. Сделаем существенное замечание. Если при приведении системы сил ( ,…, ) к двум силам ( , ) имела место (при фиксированном центре О) многозначность, то при приведении этой системы к силе и паре сил мы всякий раз будем получать одну определенную силу (она однозначно определяется главным вектором ) и различные пары ( , – ), но с одним и тем же моментом (имеется в виду многозначность сил различных пар; ясно, что по свойству преобразований все такие пары эквивалентны). Он равен неизменному для выбранного центра главному моменту = ( ). Заметим еще, что хотя между векторами моментов ( ,– ) и = ( ) есть равенство ( , – )= , тем не менее отождествлять эти два вектора не следует, так как справа находится вектор, приложенный строго в центре О, а слева – свободный вектор (момент пары). Перейдем к двум важнейшим теоремам нашего курса. 2.3. Теорема3. Основная теорема статики Для того чтобы некоторая система сил ( ,…, ) была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы и ее главный момент относительно произвольного центра были равны нулю. Доказательство. 1. Необходимость. Из теоремы о приве-дении любой системы сил к двум силам следует, что ( ,…, )∾( , ) и = = + ; (2.4) = ( )= ( )+ ( ), (2.5) где С – произвольная точка. Из условия равновесия ( ,…, )∾0 по свойству элементарных преобразований получим ( , )∾0, и, значит, на основании первой аксиомы силы и должны быть системой противоравных сил (в эту систему включаются и нулевые системы). Следовательно, из (2.4) и (2.5) необходимо следует: =0, =0. 2. Достаточность. Пусть для заданной системы справедливо: =0, = 0. Тогда из (2.4) и (2.5) получаем + = 0, ( )+ ( )= 0, откуда следует, что и – силы противоравные и по первой аксиоме уравновешены, а значит, уравновешена и эквивалентная им система сил, т.е. ( ,…, )∾0. Доказательство закончено. Эта теорема лежит в основе всех уравнений равновесия тел. 2.4. Теорема4. Теорема эквивалентности Для того чтобы две системы сил были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы они имели равные главные векторы и равные главные моменты относительно произволь-ного центра. Доказательство. 1. Необходимость. Если две системы сил эквивалентны ( ,…, )∾( ,…, ), (2.6) то по определению они имеют одну и ту же уравновеши-вающую систему, за которую можно принять (аксиомы 1, 2 и следствие 2), например, систему сил (– ,…,– ), противо-равных силам системы ( ,…, ). Тогда из (2.6) (– ,…,– , ,…, )∾0 (2.7) откуда по основной теореме статики: + =0; (2.8) + =0, (2.9) где О – произвольно выбранный центр моментов. Но для противоравных сил (– ) = – ( ); из предыдущих равенств получаем: = ; (2.10) = , (2.11) что и требовалось доказать. 2. Достаточность. Приняв теперь равенства (2.10) и (2.11) за исходные, мы обратными рассуждениями последовательно убеждаемся в справедливости (2.8) и (2.9), затем (2.7) и, наконец, (2.6), что завершает доказательство теоремы (предлагается провести это доказательство самостоятельно).
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (432)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |