Сложение поступательного и вращательного движений
Постановка задачи. Дано: 1) движение тела T по отношению к системе координат OXYZ – вращательное с осью вращения OZ и угловой скоростью ; 2) движение подвижной системы OXYZ по отношению к системе координат O1X1Y1Z1 – поступательное со скоростью . Определить абсолютное движение тела T (т.е. движение тела по отношению к системе O1X1Y1Z1). Разберем отдельно возможные частные случаи. 3.4.1. Сложение поступательного и вращательного движений в случае, когда ⊥ Теорема. При сложении поступательного движения со скоростью и вращательного движения с угловой скоростью , при условии ⊥ , абсолютное движение тела – мгновенно вращательное с угловой скоростью . Для доказательства используем тот же метод. Найдем, пользуясь теоремой о сложении скоростей, абсолютную скорость произвольной точки M тела (рис.3.9): , где (m - точка, жестко скрепленная с подвижной системой координат OXYZ), т.е. = , так как движение подвижной системы OXYZ относительно неподвижной системы – поступательное; . Таким образом, . Легко заметить, что в дан-ный момент в теле существует точка P, скорость которой равна нулю. Она лежит в плоскости, проходящей через ось относительного вращательного движения OZ перпендикулярно к вектору , на расстоянии от оси OZ справа от нее (рис.3.9). Действительно, для этой точки векторы переносной и относительной скоростей, перпендикулярные указанной плоскости (плоскость OYZ на рис.3.9), направлены в противоположные стороны и = . Значит, в данный момент существует (гл.2) мгновенная ось вращения тела (это прямая Pl, параллельная оси OZ на рис.3.9) и существует вектор , направленный вдоль мгновенной оси вращения, такой, что для любой точки M тела , (3.6) а движение тела – мгновенно вращательное с мгновенной угловой скоростью . Учитывая, что, с другой стороны, (так как сумма двух первых слагаемых, определяющих скорость точки P, равна нулю), и сопоставляя полученный результат с соотношением (3.6), заключаем, что . Теорема доказана. В символьной записи: ∾ , если ⊥ , где = . Замечание 1. Справедливо и обратное утверждение: мгновенно вращательное движение тела с угловой скоростью можно рассматривать как сложное, состоящее из двух составляющих движений – вращательного (мгновенно вращательного) и поступательного. Или в символьной записи ∾ , где , . (3.7) Точка O – произвольная точка пространства. Очевидно, что такое представление неоднозначно (рис.3.10). В учебниках такое кинематическое преобразо-вание условно называют параллель-ным переносом вектора (анало-гично в статике: параллельный перенос вектора силы). Точку O на-зывают центром приведения. 3.4.2. Сложение поступательного и вращательного движений в случае ‖ Пусть движение твердого тела относительно основной системы O1X1Y1Z1 (рис.3.11) может быть разложено на два составляющих движения: 1) относительное вращательное (с угловой скоростью ); 2) переносное поступательное (со скоростью ‖ ). Примером такого движения является движение болта, ввинчиваемого в гайку, по отношению к ней. При этом для произвольной точки M тела (рис.3.11) по теореме о сложении скоростей , , а . Значит, для любой точки A тела, лежащей на оси OZ, . Следовательно, точки A, B (и дру-гие точки тела, расположенные на оси OZ) движутся вдоль неподвижной (в основной систе-ме отсчета) прямой ll1 (рис.3.11) и имеют в каждый момент времени геометрически равные скорости. Такое движение тела, как известно, называют винтовым, а прямую ll1 – осью винта. Название связано с тем, что в частном случае, когда и остаются постоянными, траектории точек тела, не лежащих на оси винта, - винтовые линии [3, 9, 10]. 3.4.3. Сложение поступательного и вращательного движений в случае, когда угол и a ¹ p/2 Теорема. При сложении поступательного движения со скоростью и вращательного движения с угловой ско-ростью при условии, что , a ¹ p/2, абсолют-ное движение тела – мгновенно винтовое. Доказательство. Примем плоскость, проходящую через векторы , , за коорди-натную плоскость OXZ (рис.3.12). Рассмотрим точку A тела, лежащую в данный момент в плоскости OYZ на расстоянии h от оси OZ. По теореме о сложении скоростей , где , (a – точка подвижной системы координат OXYZ), т.е. . Раскладывая вектор на две взаимно перпендикулярные составляющие и (рис.3.12), получим = + + . Здесь векторы и – противоположно направленные (рис.3.12), и модули их равны, если . Значит, для такой точки A в данный момент и = ; и для любой другой точки B тела, расположенной на прямой ll1, проведенной параллельно оси OZ через точку A, будет . (3.8) Для любой точки M тела, не лежащей на этой прямой, получаем: = + + + = + . (3.9) На основании соотношений (3.8) и (3.9), используя принятое определение [8, 9], заключаем, что движение тела – мгновенно винтовое, а прямая ll1 – мгновенная винтовая ось. Теорема доказана. Замечание 2. Все приведенные выше теоремы остаются справедливыми и в случае сложения мгновенно поступа-тельных и мгновенно вращательных движений, так как все приведенные рассуждения и выкладки, основанные на распределении скоростей, можно полностью повторить и для случаев мгновенного распределения скоростей (как это уже отмечалось выше). Причем таким путем можно складывать любое число составляющих движений (n ³ 2) и в любом порядке. Таким образом, при сложении поступательных (мгновен-но поступательных) и вращательных (мгновенно вращатель-ных) движений возможен один из трех случаев: абсолютное движение тела будет или поступательным (мгновенно посту-пательным), или вращательным (мгновенно вращательным), или винтовым (мгновенно винтовым). Например, движение свободного твердого тела – мгновенно винтовое (в общем случае), так как его можно рассматривать как сложное движение (рис.3.13), состоящее из двух составляющих: 1) относительное – сферическое (мгновенно вращатель-ное) движение с угловой ско-ростью ; 2) переносное – поступатель-ное движение со скоростью , причем , a ¹ 0, a ¹ p/2 (O – произвольная точка тела). Замечание 3. Учитывая замеча-ние 2, приведем другое доказательство последней теоремы. Доказательство. Разложим вектор на две состав-ляющие: (рис.3.14). Этим самым поступательное движение со скоростью раскладываем на два состав-ляющих поступательных движения со скоростями и , а задачу сложения двух состав-ляющих движений (поступа-тельного со скоростью и вращательного с угловой ско-ростью ) заменяем задачей сложения трех движений (двух поступательных со скоростями и и вращательного с угловой скоростью ). Складывая далее движения со скоростями и ( ⊥ ) и получая при этом (по доказанному выше) мгновенно вращательное движение с угловой скоростью (с мгновен-ной осью вращения ll1, ), приходим к задаче сложения двух составляющих движений: поступатель-ного со скоростью и мгновенно вращательного с угловой скоростью . А это (в соответствии с рассмотренным случаем ‖ , с учетом замечания 2 и определения [8-10]) приводит к результату: абсолютное движение тела – мгновенно винтовое с мгновенной винтовой осью ll1, что и требовалось доказать. Пример 3.1. Определить абсолютное движение тела, если дано: тело вращается вокруг оси OY с угловой скоростью по отношению к раме, которая при этом сама вращается вокруг оси O1X1 относительно неподвижной опоры с угловой скоро-стью (рис.3.15). Это – задача сложения двух вращательных движений, оси которых OY и O1X1 – скрещивающиеся прямые. Для решения восполь-зуемся методом, изложен-ным в замечании 3.
Разложим вектор на два составляющих вектора: = + (рис.3.16), причем, пусть = (для наглядности чертежа вектор при этом перенесем в точку K, принимая ее за центр приведения, что не нарушает общности рассуждений). Это значит, что вращательное движение со скоростью будет рассматриваться как сложное, состоящее из двух составляющих вращательных движений с угловыми скоростями и . Этим задача о сложении двух составляющих вращательных движений с угловыми скоростями и заменяется задачей о сложении трех составляющих движений с угловыми скоростями , и . Складывая два составляющих движения с угловыми скоростями и = , совокупность которых есть пара вращений, получим поступательное движение со скоростью , (рис.3.16). Теперь задача сведена к сложению поступательного движения со скоростью и вращательного движения с угловой скоростью , причем в общем случае a ¹ 0, a ¹ p/2 ( ) (рис.3.16). Значит, абсолютное движение тела в этом случае – мгновенно-винтовое ∾ , где , . Положение мгновенно-винтовой оси на рисунке не показано. Замечание 4. Из приведенных замечаний следует, что при преобразовании движений можно использовать сложение и разложение движений на составляющие, причем в любом порядке, сохраняя лишь свойство эквивалентности (в указан-ном здесь смысле). Например, приведем другое решение предыдущей задачи (пример 3.1, рис.3.15), используя параллельный перенос вектора в соответствии с соотношением (3.7) (K – центр приведения). Получим: ∾ ∾ , (3.10) где ∾ ; , ; ; на рис.3.17 показаны только оси координат и векторы скоростей. Из соотношения (3.10) следует, что задача сведена к сложению поступательного движения со скоростью и вращательного с угловой скоро-стью . Абсолютное движение тела – мгновенно винтовое, как и было показано выше.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (296)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |