Задания для самостоятельной работы. 1. Определить с уровнем α = 0,05 значимость различия производительности труда в двух

1. Определить с уровнем α = 0,05 значимость различия производительности труда в двух бригадах рабочих за десять дней работы (табл. 1.6, за каждый день приведено среднее число изготовленных за час деталей на одного рабочего и число работавших в этот день рабочих в бригаде).

Таблица 1.6

2. Определить с уровнем α = 0,05 значимость различия производительности труда в трех бригадах рабочих-токарей за десять дней работы (табл. 1.7, за каждый день приведено среднее число изготовленных за час деталей на одного рабочего).

Таблица 1.7

3. При подготовке к соревнованиям двадцати спортсменов-многоборцев, имевших близкие спортивные результаты, применялись четыре рациона питания и четыре методики тренировок. В табл.1.8 приведены показатели в баллах, полученные спортсменами на соревнованиях. Влияют ли факторы (рацион питания и методика тренировок) на достижения спортсменов?

Таблица 1.8

4. При подготовке к соревнованиям спортсменов-многоборцев, имевших близкие спортивные результаты, применялись два рациона питания и пять методик тренировок, причем каждой паре (рацион питания, методика тренировок) соответствует четыре спортсмена. В табл.1.9 приведены показатели в баллах, полученные спортсменами на соревнованиях. Влияют ли факторы (рацион питания и методика тренировок) на достижения спортсменов?

Таблица 1.9

Корреляционный анализ

Корреляционный анализ позволяет определить наличие связей между случайными величинами, вычислив коэффициент корреляции, и оценить силу связи.

Пусть рассматриваются две случайные величины X и Y.

Если каждому значению случайной величины X соответствует единственное значение случайной величины Y, то связь между X и Y называется функциональной зависимостью.

Если каждому значению случайной величины X соответствует закон распределения вероятностей случайной величины Y, то связь между X и Y называется вероятностной (стохастической) зависимостью.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения вероятностей случайной величины Y не зависит от того, какое значение приняла случайная величина X. В противном случае величины X и Y называются зависимыми.

Если математическое ожидание M(Y)случайной величины Y зависит от того, какое значение x приняла случайная величина X, то такая зависимость называется корреляционной. В этом случае говорят об условном математическом ожидании .

Уравнением регрессии Y по X называется функция , выражающая зависимость математического ожидания случайной величины Y от значения случайной величины X. График этой функции называется линией регрессии Y по X.

Линейное уравнение регрессии Y по X имеет вид .

Основной задачей корреляционного анализа является выявление корреляционной связи между случайными переменными X и Y.

Числовой характеристикой линейной корреляционной связи между случайными величинами X и Y является коэффициент корреляции

,

где , — математические ожидания, а σ_x, σ_y — среднеквадратические отклонения случайных величин X и Y.

Свойства коэффициента корреляции:

1) |ρ| ≤ 1.

Если ρ < 0, то при возрастании одной из случайных величин, условное математическое ожидание другой убывает.

Если ρ > 0, то возрастание одной из случайных величин ведет к возрастанию условного математического ожидания другой.

2) Если случайные величины X и Y независимы, то ρ = 0. (Обратное утверждение неверно).

3) Если |ρ| = 1, то между X и Y существует линейная зависимость

.

Справедливо и обратное утверждение: если между X и Y существует линейная зависимость, то |ρ| = 1.

Для выявления нелинейной корреляционной зависимости между X и Y используются корреляционные отношения.

Корреляционное отношение Y по X определяется формулой:

.

Корреляционное отношение X по Y определяется аналогично:

.

Свойства корреляционного отношения:

1) .Корреляционное отношение не симметрично.

2)

3) Если случайные величины X и Y независимы, то . Обратное утверждение неверно.

Если , то Y некоррелирована с X, но при этом может быть X коррелирована с Y: . Возможны случаи, когда и .

4) Условие равносильно существованию функциональной связи между X и Y.

Если , то между X и Y существует линейная функциональная зависимость.

Если , то между X и Y существует нелинейная функциональная зависимость.

Условие равносильно существованию линейной корреляционной зависимости между X и Y.

Если корреляция между X и Y нелинейна, то .