Профессор кафедры математического анализа и МПМ

С 2009 года Единый Государственный Экзамен стал обязательным на всей территории России как инструмент оценки знаний всех выпускников школ. До этого ЕГЭ в течение восьми лет проводился в качестве эксперимента - тогда школы и вузы еще имели право выбирать между ним и традиционными формами оценки знаний. Республика Тыва также участвовала в этом эксперименте по ЕГЭ до 2009 года.

Мы в своей работе провели статистическую обработку данных по ЕГЭ, как вступительных экзаменов в ТывГУ, чтобы качественными выводами показать, насколько велика точность оценки знаний учащихся в результатах ЕГЭ, в плане прогнозирования их дальнейшей успеваемости в ВУЗе.

Исследования по статистическому анализу успеваемости студентов физико-математического факультета ТывГУ начались еще в 2001 году силами самих студентов и под руководством д. ф.-м. н., проф. (тогда – к. ф.-м. н.) Жданка А.И.

В настоящей работе мы проводим следующий (после первичной обработки) этап исследований по изучению статистических закономерностей в динамике успеваемости студентов физико-математического факультета. Поскольку выборки по объективным причинам (группы) достаточно малы, то нами выдвигаются и проверяются гипотезы о наличии значимой корреляционной зависимости, также вычисленной нами, между различным парами признаков успеваемости студентов.

Все данные по студентам занесли в компьютерную Базу данных в программе MS Excel. Настоящая База данных дополняет Базу данных, которую мы создавали ранее, исследованную в наших публикациях [1] и [2]. Далее мы провели статистическую обработку полученной информации с вычислением следующих числовых характеристик генеральной совокупности с помощью готовых статистических формул из программы MS Excel:

- средние значения (математическое ожидание) по строкам (студентам) и по столбцам (экзаменам);

- разброс (дисперсия) по строкам (студентам) и по столбцам (экзаменам).

Далее были найдены средние оценки всех групп по всем математическим дисциплинам и сессиям, динамику изменений которых мы отследили с помощью диаграмм программы MS Excel (результаты здесь не приводим).

Был проведен расчёт корреляционных зависимостей. При их вычислении мы использовали известную формулу для коэффициента корреляции [3].

Приведем лишь полученные данные коэффициентов корреляции r между оценками аттестата (по математике), вступительных экзаменов, сессионных экзаменов студентов ФМФ специальности «математика-информатика» 1 гр. 5курса 2006 года поступления.

Из таблицы можно сделать следующие выводы:

1. Между оценками вступительных экзаменов и аттестата слабая прямая зависимость.

2. Между оценками аттестата и результатами экзаменов почти по всем семестрам слабая прямая зависимость, но в 8 семестре очень сильная прямая зависимость.

3. Между результатами вступительных экзаменов и результатами экзаменов в первые два и последние два семестра есть слабая прямая зависимость, а с 3 по 5 семестр – очень слабая обратная зависимость первой группы.

4. Из предыдущих выводов можно заключить, что оценки аттестата предопределяют уровень знаний студентов 1 группы 5 курса в сессионных экзаменах в большей степени, чем оценки вступительных экзаменов по системе ЕГЭ, особенно в 8 семестре.

Таким же способом были сделаны расчеты по всем группам физико-математического факультета 2006-2009 г.г. поступления. Проведены и другие статистические расчеты.

Главной же целью данного проекта было методами альтернативных гипотез произвести численный анализ по принятию или опровержению гипотез о значимости (надежности) полученных корреляционных связей.

Статистическая гипотеза, которая проверяется, называется основной (нулевой) и обозначается Н₀. Гипотеза, которая противопоставляется основной, называется альтернативной (конкурирующей) и обозначается Н₁. Цель статистической проверки гипотез: на основании выборочных данных принять решение о справедливости основной гипотезы или отклонить ее в пользу альтернативной [4].

Значимость коэффициента корреляции проверяется с помощью статистики К= , имеющей распределение Стьюдента.

Пользуясь данными формулами, проверим значимость наших корреляций.

Выдвинем гипотезу:

Н₀: Rxy=0 - коэф.корр. не значими между переменными X и Y (в нашем случае оценки аттестата, вступит. и сессионных экз.) нет никакой связи;

Н₁: Rxy<0 или Rxy>0 - коэф.корреляции значим.

Далее были вычислены наблюдаемые значения статистики К по всем семестрам.

Задали уровень значимости =0.01 и определили границу критической области по таблице распределения Стьюдента. По виду альтернативной гипотезы можно заключить, что критическая область является 2-х сторонней: (-∞ ; Ккр]ﮞ [Ккр ; +∞). Значение К находим по таблице распределения Стьюдента: К =t(n-2; ), n – число студентов. Если наблюдаемое значение К попадает в критическую область (-∞ ; Ккр]ﮞ [Ккр ; +∞), то основную гипотезу следует отвергнуть в пользу альтернативы: связь между переменными значима [3].

Результаты нашего исследования показали, что связь между оценками аттестата, результатами вступительных экзаменов и оценками сессионных экзаменов в большинстве случаев не значима. Но, все-таки, есть случаи, где коэффициент корреляции значим.

Предположение, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение требует проверки. Для проверки гипотез о виде распределения служат специальные критерии — критерии согласия.

Для того, чтобы проверить нормальность распределения проверяем гипотезу о виде распределения. Выдвигаем следующие гипотезы:

— Н₀: ГС имеет нормальное распределение;

— Н₁: ГС не имеет нормального распределения.

Для проверки гипотезы о виде распределения используется критерий согласия Пирсона: статистика , где n – объем выборки; к – количество интервалов; n­_j – количество наблюдений, попавших в j-ый интервал; p_j – вероятность попадания в j-ый интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону.

Если предположение о виде закона распределения справедливо, то ста­тистика Пирсона распределена по закону «хи-квадрат» с числом степеней сво­боды к-r-1 (r— число параметров распределения, оцениваемых по вы­борке): К~ _(к-r-1). Для нахождения p_j используем формулу: , j=1,2,..k, - это табличная функция Лапласа.