Исследование функции методами дифференциального исчисления
При исследовании функции методами дифференциального исчисления необходимо: а) найти область определения функции; б) исследовать функцию на непрерывность; в) найти точки пересечения графика функции с осями координат; г) определить интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума; д) найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции. Например. Исследовать функцию и построить ее график. Решение. а) Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел. б) Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, то есть на интервале . в) Для нахождения точки пересечения графика функции с осью Оу подставим в уравнение функции х=0. Тогда у=5. Значит, график функции пересечет ось Оу в точке А (0; 5). Для определения точки пересечения исследуемой кривой с осью Ох следует решить уравнение . Из-за отсутствия целочисленных корней этого уравнения его решение громоздко (оно может быть найдено, по формулам Кардано) и не приводится здесь. г) Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции воспользуемся следующими достаточными признаками: если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция возрастает (убывает) на этом интервале. Продифференцируем данную функцию: . Корнями производной являются , (критические точки первого рода. Определим промежутки знакопостоянства производной , используя метод интервалов. На числовой оси отметим в порядке возрастания критические значения , аргумента х ( в этих точках производная данной функции обращается в нуль).
Данная функция возрастает на интервалах ( ) и (3; ) (здесь производная положительна) и убывает на интервале (-1; 3) (здесь ). Для исследования критических точек , и на экстремум воспользуемся первым достаточным признаком экстремума функции: если функция дифференцируема в точке и ее окрестности и ее производная слева от этой точки положительная (отрицательна), а справа – отрицательна (положительна), то в точке функция имеет максимум (минимум). При переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум. Значит, В - точка максимума. Так как при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс, то С (3; -4) – точка минимума. д) Для определения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции используем следующие достаточные признаки: если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) в каждой точке интервала (a; b) , то на этом интервале график функции является вогнутым (выпуклым); если и либо не существует и при переходе через точку вторая производная меняет свой знак, то - точка перегиба кривой . Найдем вторую производную функции : при x=1 (критическая точка второго рода). На интервале ( ) вторая производная отрицательна, поэтому график функции на этом интервале является выпуклой кривой; при , поэтому графику функции вогнут на этом интервале. Так как при переходе через точку x=1 вторая производная меняет свой знак, то x=1 есть абсцисса точки ) перегиба кривой. Результаты исследований даны в таблице:
График исследуемой функции приведен на рисунке:
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2087)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |