Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Понятие дифференциала Пусть функция y = f(x) дифференцируема при некотором значении переменной x . Следовательно, в точке xсуществует конечная производная
Тогда по определению предела функции разность (1) является бесконечно малой величиной при . Выразив из равенства (1) приращение функции, получим (2) (величина не зависит от , т. е. остаётся постоянной при ). Если , то в правой части равенства (2) первое слагаемое линейно относительно . Поэтому при оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и . Второе слагаемое - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение стремится к нулю при Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е. (3) Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают или Следовательно, (4) или (5) Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной. Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента, - наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет. Дифференциал функции можно записать в другой форме: (6) или Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении xна величину . Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов. Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной: (С – постоянная величина) (8) (9) (10) (11) (12) Формулы (8) – (12) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на . Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть - сложная функция : Дифференциал этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде Но есть дифференциал функции , поэтому , т.е. (13) Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле (7), хотя аргумент является не независимой переменной, а функцией . Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называютинвариантностью (неизменностью) формы дифференциала. Подчеркнём, что в формуле (13) нельзя заменить на , так как для любой функции , кроме линейной. Пример 2. Записать дифференциал функции двумя способами, выражая его: через дифференциал промежуточной переменной и через дифференциал переменной x . Проверить совпадение полученных выражений. Решение. Положим Тогда а дифференциал запишется в виде Подставляя в это равенство и Получаем Применение дифференциала в приближенных вычислениях Установленное в первом параграфе приближенное равенство
или (14) позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции. Запишем приближенное равенство более подробно. Так как а то или (15) Пример 3. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01. Решение. Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x . Формула (15) в данном случае примет вид Положим тогда Следовательно, что является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100. Пример 4.Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно Решение. Число Так как производная этой функции то формула (15) примет вид Полагая и получаем (табличное значение ). Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности. Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением: (16) Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа: (17) Если точное число неизвестно, то (18) Иногда, прежде чем применить формулу (15), требуется предварительно преобразовать исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина была достаточно малой по сравнению с , так как чем меньше , тем, вообще говоря, точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина вычислялась просто. Пример 5.Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить точность полученного результата. Решение. Рассмотрим функцию Её производная равна а формула (15) примет вид В данном случае было бы нерационально вычислять приближенно следующим образом: так как значение не является малым по сравнению со значением производной в точке Здесь удобно предварительно вынести из под корня некоторое число, например 4/3. Тогда Теперь, полагая получим Умножая на 4/3, находим Принимая табличное значение корня за точное число, оценим по формулам (16) и (17) абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (6563)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |