Модель механизма конвективного теплообмена. Напряжения и скорости сдвига. Реологическое уравнение. Связь между трением и теплообменом

Под конвективным теплообменом понимается процесс переноса энергии в тепловой форме при перемещении макрочастиц деформируемой среды (жидкости или газа) в пространстве из области с одной температурой в область с другой температурой. Можно утверждать, что интенсивность конвективного теплообмена обусловлена интенсивностью движения среды.

Различают вынужденное и свободное движение (конвекцию) среды. Вынужденная конвекция обусловлена действием поверхностных сил (сил давления и трения). Свободная конвекция обусловлена действием массовых сил (гравитационных, электромагнитных, сил инерции поступательного и центробежного движения). Например, гравитационное поле вызывает конвекцию в системе с неоднородным распределением плотности однородной среды, которое является следствием неоднородного распределения температуры в объеме системы.

Всем реальным жидкостям присуще свойство сопротивления сдвигу или свойство вязкости. Оно проявляется при возникновении условий движения жидкости, т.е. при условиях, когда внешние силы, действующие на объем жидкости, вызывают его деформацию – непрерывное изменение формы и размеров. Тогда между отдельными слоями (молями) жидкости возникают силы трения, обусловленные молекулярным переносом количества движения (импульса) от одного слоя к другому. Поверхностные силы, воздействующие на элементарный объем жидкости, вызывают напряжения на его поверхностях. Графически данные напряжения можно представить следующим образом (Рис.1.1):

 

Рис. 1.1 Схема напряжений при действии поверхностных сил на выделенный объем жидкости.

s_xx, s_yy, s_zz – нормальные напряжения, Па; t_ij – касательные напряжения, Па.

При этом рассматривается следующий тензор напряжений:

(1.1)

Первый из индексов касательных напряжений указывает на ориентацию площадки (например, t_xy действует на площадке, перпендикулярной к оси 0-x), а второй индекс обозначает ось, на которую спроектировано это напряжение.

Нормальные напряжения s_xx, s_yy, s_zz на гранях выделенного объема обусловлены внешним давлением в жидкости P, действующим по нормали к любой поверхности ее элемента, что определяет соотношение:

P = - 1/3×(s_xx+ s_yy+ s_zz) , (1.2)

причем, знак (-) в выражении (1.2) характеризует, что внешнее давление Р вызывает противоположное по направлению нормальное напряжение на поверхности выделенного элемента жидкости, и уславливаются, что давление положительно при сжатии объема элемента.

По закону Ньютона-Навье-Стокса (обобщенному закону Ньютона) устанавливаются соотношения [1]:

 

;

 

; (1.3)

,

где divW = ¶W_x/¶x + ¶W_y/¶y + ¶W_z/¶z; W_x, W_y, W_z - проекции вектора скорости =W(w_x, w_y, w_z) на оси ортогональной системы координат; m - молекулярная динамическая вязкость, Па×с. Данный параметр является количественной характеристикой неотъемлемого свойства жидкости сопротивляться сдвигу. Для газов значение m может быть рассчитано на основе молекулярно-кинетической теории; для капельных жидкостей значение m находится экспериментальными измерениями. В ряде изданий динамическая вязкость обозначается как h.

Характеризуя движение жидкости в целом полем скорости =W(w_x, w_y, w_z), на основании выражений (1.3) можно утверждать, что интенсивность движения, вызванное действием поверхностных сил, во многом определяется производными компонент скорости по направлению осей ¶W_x/¶x, ¶W_y/¶y, ¶W_z/¶z. К этому перечню производных в рамках трехмерного пространства логично добавить производные компонент вектора скорости по одному из направлений, нормальных к направлению рассматриваемого компонента:

; ; ; ; ; . (1.4)

В общем случае жидкости можно классифицировать как однородные (гомогенные), так и неоднородные среды. Введен термин «квазимогенные среды», опирающийся на допущение, что за характерное время основного процесса не успевают произойти существенные для практики изменения средних характеристик смеси, обусловленные относительным движением фаз и их компонентов.

Изучением закономерностей деформаций таких сред представляет собой содержание специального раздела механики жидкости, называемого реологией. Одним из направлений реологии является изучение связи деформаций с напряжениями на феноменологической основе (на основе наблюдений, экспериментов), что и определяет характер движения деформируемой среды (жидкости или газа). Математическое выражение указанной связи представляет собой реологическое уравнение. При этом интенсивность деформации определяется так называемой скоростью сдвига , определяемой комбинациями производных компонент вектора скорости по осям ортогональных координат (1.4):

;

; (1.5)

.

По закону Ньютона-Навье-Стокса касательные напряжения связаны со скоростями деформации определенными соотношениями [1]:

 

(1.6)

,

 

В [3] на основе закона сохранения момента количества движения доказывается симметрия тензора напряжений, а именно:

t_xy=t_yx; t_xz=t_zx; t_yz=t_zy. (1.7)

 

 

В [4] отмечается, что Исаак Ньютон предложил реологическое уравнение для так называемых идеальных жидкостей записывать в виде t =m× , которое в рамках модели плоского сдвига (Рис. 1.2) может быть записано как

(1.8)

Жидкости, описываемые реологическим уравнением вида (1.8), для которых динамическая вязкость m не зависит от скорости сдвига, называются ньютоновскими. Класс неньютоновских жидкостей гораздо шире. Одно из видов реологического уравнения для неньютоновской жидкости, например, псевдопластичной, записывается как:

, (1.9)

где n < 1.

В гидродинамике и конвективном теплообмене используется также параметр (коэффициент) кинематической вязкости:

n=m/r, м²/с

Как было показано в курсах механики жидкости и теплопередачи, проявление при движении реальной жидкости свойства сопротивления сдвигу (вязкости) приводит при обтекании неподвижной поверхности к формированию динамического пограничного слоя (Рис. 1.3). При этом могут реализовываться как ламинарный, так и турбулентный режимы течения.

 

 

Рис. 1.3 Схема динамического пограничного слоя

 

Очевидно, что

. (1.10)

Поскольку при конвективном теплообмене интенсивность переноса теплоты обусловлена интенсивностью движения, то моделирование данного механизма переноса теплоты требует совместного рассмотрения соотношений, описывающих закономерности переноса массы, количества движения и энергии в тепловой форме. Рассмотрим эти закономерности на примере обтекания плоской поверхности ламинарным потоком несжимаемой жидкости [5] (Рис. 1.4). Внутри пограничного слоя выделяем элементарный объем с гранями dx, dy и dz =1. Принимаем скорости потока жидкости на левой и нижней гранях выделенного объема W_x и W_y, а на правой и верхней гранях значения, отличающиеся на некоторую величину, соответственно (W_x + ¶W_x/¶x×dx) и (W_y + ¶W_y/¶y×dy). Аналогично выбраны величины нормального давления на правой и левой гранях и касательные силы на нижней и верхней гранях объема.

 

Рис. 1.4 Схема обтекания элементарного объема ламинарным потоком несжимаемой жидкости.

 

Массовые расходы на входе и выходе из элементарного объема в направлении x будут соответственно равны:

rW_xdy (dz=1) и r(W_x + ¶W_x/¶x×dx)dy

 

Результирующий массовый расход в выделенный элементарный объем в направлении х составит

-r(¶W_x/¶x×dx)dy (1.11)

 

Аналогичный результирующий массовый расход в выделенный элементарный объем в направлении y составит

-r(¶W_y/¶y×dy)dx (1.12)

 

Поскольку рассматривается течение несжимаемой жидкости, то результирующий суммарный расход из элементарного объема должен составлять- сумма выражений (1.11) и (1.12)

 

(1.13)

или

 

(1.14)

 

Выражение (1.14) представляет собой уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности) для рассматриваемого частного случая обтекания плоской поверхности ламинарным потоком несжимаемой жидкости.

Описание самого стационарного движения потока жидкости через выделенный элементарный объем базируется на базе второго закона Ньютона. Допускается, что в направлении оси y градиенты давления отсутствуют, а силы поверхностного трения пренебрежимо малы [5]. Рассматривается ньютоновская жидкость. Левую и правую вертикальные поверхности (Рис. 1.4) пересекают потоки количества движения соответственно

r (1.15)

и (1.16)

Потоки жидкости через горизонтальные поверхности также влияют на балансе количества движения в направлении оси х. При этом в направлении оси х нижнюю поверхность пересекает поток количества движения

, (1.17)

а верхнюю поверхность пересекает поток количества движения

(1.18)

 

Касательные напряжения на нижней и верхней гранях и силы давления на левой и правой гранях объема показаны на Рис. 1.4.

Результирующее касательное напряжение в направлении х составит

, (1.19)

а результирующая сила давления в направлении течения (вдоль оси х) составит

(1.20)

Приравнивая изменение количества движения при прохождении потоком жидкости элементарного объема сумме рассмотренных сил, действующих на поверхность объема, получаем - алгебраически складываем выражения (1.15), (1.16), (1.17), (1.18) с одной стороны и (1.19) и (1.20) с другой стороны:

 

(1.21)

 

Если пренебречь производными второго порядка малости и использовать уравнение неразрывности (1.14), то уравнение сохранения количества движения (1.21) приводится к виду:

 

(1.22)

Следует отметить, что выражения (1.21) и (1.22) представляют собой уравнения сохранения количества движения в проекции на ось х, вдоль которой направлен поток жидкости.

Рассматривая перенос теплоты в потоке жидкости, обтекающей плоскую поверхность, для замыкания системы уравнений сохранения необходимо построить соответствующую модель уравнения сохранения энергии. Для этого используем следующую схему потоков энергии в тепловой форме механизмами теплопроводности и конвекции (Рис. 1.5)

 

Допущено, что физические свойства жидкости не зависят от температуры и можно пренебречь работой сил трения.

Для рассматриваемого стационарного режима теплообмена, т.е. для выполнения условий неизменности температуры жидкости во времени в любой точке элементарного объема уравнение энергии как алгебраическая сумма тепловых потоков на гранях объема будет выглядеть следующим образом:

 

(1.23)

Используя уравнение неразрывности (1.14) и пренебрегая членами второго порядка малости, уравнение (1.23) записывается следующим образом:

 

,

(1.24)

где a = l/rC_p - коэффициент температуропроводности, м²/с.

Переписав уравнение (1.23) с учетом, что m/r = n и градиент давления вдоль оси х ¶P/¶x пренебрежимо мал, а также в выражении (1.24) пренебрежимо мало изменение температуры вдоль оси х (¶²Т/¶х² » 0), совместное рассмотрение уравнений сохранения количества движения и энергии

 

(1.25)

 

(1.26)

позволяет судить об аналогии между рассмотренными уравнениями. Поскольку движение жидкости обусловлено как полем внешних сил, так и возникающими при внешнем воздействии силами трения, указанная аналогия позволяет утверждать о связи трения и теплообмена.

 

Список использованных источников

1. Тепломассообмен: учебник для вузов /Ф.Ф. Цветков, Б.А. Григорьев.- М.: Издательский дом МЭИ, 2011. – 562 с.

2. С.С. Кутателадзе Основы теории теплообмена. Изд. 4-е. Новосибирск: Издательство «Наука» Сибирское отделение, 1970. – 659 с.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука. 1970. В 2-х т.

4. Шрамм Г. Основы практической реологии и реометрии/Пер. с англ. Под ред. В.Г. Куличихина – М.: КолосС, 2003. – 312 с.

5. Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи: Пер. с англ.- М.: Мир, 1983. – 512 с.