Горизонтальная асимптота

Содержание

Введение

 

2.Нахождение асимптоты

2.1 Геометрический смысл асимптоты

2.2 Общий метод нахождения асимптоты

3.Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

3.2 Вертикальная асимптота

3.3 Наклонная асимптота

 

Введение

 

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи

продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так

что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся

при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии,

циссоиды и др.).

Нахождение асимптоты

Пусть функция f (x) определена для всех x > а (соответственно для всех

x < а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) - kx - l = 0 при х ® +

¥ (соответственно при х ® - ¥), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x ® + ¥

(соответственно при х ® - ¥).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х ® + ¥

(или х ® - ¥) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть

отличается от линейной функции на бесконечно малую.

x - 3x - 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x +1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x - 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х ® ± ¥, то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,

так и при х ® - ¥.

 

2.1 Геометрический смысл асимптотыРассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графикафункции f, М -проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,q - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, q ¹ ,MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересеченияпрямой ММ сасимптотой АВ (рис.1). (рис.1)Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM - QM = f (x) – (kx +l),MP = MQ cos q. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулюмножитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ® + ¥(соответственно при х ® - ¥) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,то и lim MP = 0, и наоборот. х ® + ¥х ® + ¥Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние докоторой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М= (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ® +¥ или, соответственно, х ® - ¥).

 

2.2 Общий метод отыскания асимптотыУкажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определениякоэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.Будем рассматривать для определённости лишь случай х ® + ¥ (при х ® - ¥рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y =kx + l при х ® + ¥. Тогда, по определению, f (x) = kx + l + 0 Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х® + ¥. Тогда lim = k. х ® + ¥Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определенияl формулу l = lim (f (x) – kx). х ® + ¥ Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, чтовыполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l являетсях ® + ¥асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем х ® + ¥ lim [f (x) - (kx + l)] = 0, х ® + ¥то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты,иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулыlim = k. и l = lim(f (x) – kx)х ® + ¥ х ® + ¥сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределовопределённого вида. Более того, мы показали, что если существуетпредставление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются поформулам lim = k.и l = lim (f (x) – kx)х ® + ¥ х ® + ¥Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,найденную нами выше другим способом: 7 то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптотыy = x – 4, как при х ® + ¥, так и при х ® - ¥.В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельнойоси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые,параллельные оси Oy.

 

Виды

Горизонтальная асимптота

Пусть $ lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная

асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x ® +¥)

(рис.2)

 

 

(рис.2)

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

 

(рис.3)