Российская математика в 19 веке

В 19 веке российская наука получила мощный толчок. Математика включала в себя несколько дисциплин: алгебра, геометрия, тригонометрия, математическая физика и другие. Появляются университеты, которые должны были иметь факультеты физики и математики. В России появляются ученые с мировым именем:

Лобачевский Николай Иванович-российский математик, создатель неевклидовой геометрии. Он построил геометрию Лобачевского и глубоко исследовал её необычные свойства. Лобачевский настолько опередил своё время, что был оценён по заслугам только спустя много лет после смерти.

Буняковский Виктор Яковлевич-научное наследство Буняковского весьма значительно. Им написано около 130 работ, большая часть которых посвящена математическим проблемам. Около двух десятков работ Виктора Яковлевича затрагивают вопросы статистики и демографии. Самый капитальный труд "Основания математической теории вероятностей".

Чебышев Пафнутий Львович - работал в области математического анализа: Чебышевым была получена известная теорема об условиях интегрируемости в элементарных функциях дифференциального бинома. Важное направление исследований по математическому анализу составляют его работы по построению общей теории ортогональных многочленов. Поводом к её созданию явилось параболическое интерполирование способом наименьших квадратов.

Во второй половине 19 века российская математика, при общем прикладном уклоне, публикует и немало фундаментальных результатов. Несколько важных открытий общего характера сделала Софья Ковалевская:

Наиболее важные исследования относятся к теории вращения твёрдого тела. Ковалевская открыла третий классический случай разрешимости задачи о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Этим продвинула вперёд решение задачи, начатое Леонардом Эйлером и Ж. Л. Лагранжем.

Доказала существование аналитического (голоморфного) решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений с частными производными, исследовала задачу Лапласа о равновесии кольца Сатурна, получила второе приближение.

Решила задачу о приведении некоторого класса абелевых интегралов третьего ранга к эллиптическим интегралам. Работала также в области теории потенциала, математической физики, небесной механики.

В 1889 получила большую премию Парижской академии за исследование о вращении тяжёлого несимметричного волчка.

Марков Андрей Андреевич - выдающийся русский математик, внёс большой вклад в теорию вероятностей, математический анализ и теорию чисел.

А. А. Марков является первооткрывателем обширного класса стохастических процессов с дискретной и непрерывной временной компонентой, названных его именем. Марковские процессы обладают следующим (Марковским) свойством: следующее состояние процесса зависит, вероятностно, только от текущего состояния. В то время, когда эта теория была построена, она считалась весьма абстрактной, однако в настоящее время практические применения данной теории чрезвычайно многочисленны. Теория цепей Маркова выросла в огромную и весьма важную область научных исследований - теорию Марковских случайных процессов, которая в свою очередь представляет основу общей теории стохастических процессов. См. также цепи Маркова и неравенство Маркова. А. А. Марков существенно продвинул классические исследования предшественников, касающиеся закона больших чисел и центральной предельной теоремы теории вероятностей, а также распространил их и на цепи Маркова.

К концу 19 века, стараниями Н. Д. Брашмана и Н. В. Бугаева, формируется активная московская математическая школа. 15 сентября 1864 года начало свою работу Московское математическое общество, в следующем году вышел первый выпуск его печатного органа Математический сборник - первый математический журнал в России

Вопрос о целесообразности введения в школьный курс основ статистики и теории вероятностей рассматривался в России уже в первой половине XIX века. Во многом такая прогрессивная позиция российской школы обуславливалась серьезными научными разработками в этой области отечественных ученых. Отдавая должное роли России в становлении и развитии этой новой области математических знаний, зарубежные ученые называли теорию вероятностей русской наукой.

Уже в первой половине XIX века преподаватель Царскосельского лицея Н.Т. Щеглов в своем школьном учебнике алгебры предлагает для изучения такие вопросы теории вероятностей: «Простая или абсолютная вероятность. Относительная вероятность. Вероятности сложные. Вероятности для явлений одно другим заменяемых. Вероятности явлений в повторяемых опытах». В учебнике даются первоначальные представления об этих понятиях, разбираются примеры с решениями.

В известном в России и неоднократно издававшемся учебнике начальной алгебры К.Д. Кра- евича, а также в задачнике того же автора есть главы «о вероятностях». Краевич использует неформальное изложение материала, не содержащее строгих утверждений и доказательств, базирующееся в основном на практических задачах и примерах («Математическая выгода. О лотереях. О вероятности человеческой жизни. О страховании»).

Попытки включения элементов теории вероятностей и статистики в программы различных учебных заведений предпринимались в России неоднократно, начиная с первой половины XIX века. В частности, известно, что они некоторое время преподавались в Царскосельском лицее. Периодически появляясь, а затем вновь исчезая, они во второй половине XIX века утвердились в реальных и кадетских училищах России. Хотя в Советском Союзе в те годы работало много крупнейших специалистов с мировым именем в области теории вероятностей и математической статистики, в практику школьного преподавания элементы теории вероятностей так и не были включены. Даже когда в конце шестидесятых годов в нашей стране под руководством А.Н. Колмогорова была осуществлена радикальная реформа школьного математического образования, в новых программах элементам теории вероятностей и статистики так и не нашлось места. Сказывалось отсутствие экспериментально проверенных методик, учебно-методической литературы. Пугало и смутное предчувствие трудностей, с которыми из-за необычности материала неизбежно столкнулись бы учителя и школьники. И все же некоторые подвижки произошли. Было принято решение о включении элементов теории вероятностей и статистики в перечень рекомендуемых факультативных занятий, а также о возможности (по усмотрению учителя) включения этих вопросов в программу школ с углубленным изучением математики.

Введение элементов статистики и теории вероятностей в содержание математического образования является одним из важнейших аспектов модернизации содержания образования, так как роль этих знаний в современном мире повышается.

Третий период истории теории вероятностей, (вторая половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). Теория вероятностей развивалась в России и раньше (в XVIII в. ряд трудов по теории вероятности был написан работавшими в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития теории вероятностей следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам теории вероятностей, связанным с математической статистикой, и В. Я. Буняковского по применениям теории вероятностей к страховому делу, статистике и демографии).

Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми. Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например, ½, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность не наступления события А весьма мала. В соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Поэтому можно также сказать, что теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.

Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о которых будет сказано ниже. Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет теории вероятностей. Наиболее просто определяются основные понятия теории вероятностей как математической дисциплины в рамках так называемой элементарной теории вероятностей.

Первые начала математической статистики можно найти уже в сочинениях создателей теории вероятностей — Я. Бернулли (конец 17 — начало 18 веков), П. Лапласа (2-я половина 18 — начало 19 веков) и С. Пуассона (1-я половина 19 века). В России методы математической статистики в применении к демографии и страховому делу развивал на основе теории вероятностей В. Я. Буняковский (1846). Решающее значение для всего дальнейшего развития математическая статистика имели работы русской классической школы теории вероятностей 2-й половины 19 — начала 20 веков (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, С. Н. Бернштейн). Многие вопросы теории статистических оценок были по существу разработаны на основе теории ошибок и метода наименьших квадратов [К. Гаусс (1-я половина 19 века) и А. А. Марков (конец 19 — начало 20 веков)]. Работы А. Кетле (19 век, Бельгия), Ф. Гальтона (19 век, Великобритания) и К. Пирсона (конец 19 — начало 20 веков, Великобритания) имели большое значение, но по уровню использования достижений теории вероятностей отставали от работ русской школы. К. Пирсоном была широко развёрнута работа по составлению таблиц функций, необходимых для применения методов математической статистики В создании теории малых выборок, общей теории статистических оценок и проверки гипотез (освобожденной от предположений о наличии априорных распределений), последовательного анализа весьма значительна роль представителей англо-американской школы [Стьюдент (псевдоним У. Госсета), Р. Фишер, Э. Пирсон — Великобритания, Ю. Нейман, А. Вальд — США], деятельность которых началась в 20-х годах 20 века. В СССР значительные результаты в области математической статистики получены В. И. Романовским, Е. Е. Слуцким, которому принадлежат важные работы по статистике связанных стационарных рядов, Н. В. Смирновым, заложившим основы теории непараметрических методов математической статистики, Ю. В. Линником, обогатившим аналитический аппарат математической статистики новыми методами. На основе математической статистики особенно интенсивно разрабатываются статистические методы исследования и контроля массового производства, статистические методы в области физики, гидрологии, климатологии, звёздной астрономии, биологии, медицины и другие.

Итак, математическая статистика возникла (XVII в.) и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики (вторая половина XIX - начало XX в.) обязано в первую очередь, П.Л. Чебышеву, А.А.Маркову ,Гауссу, Кетле и др.

Работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI-XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654 - 1705). Доказанная им теорема, получившая в последствии название Закона больших чисел, была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.

Новые наиболее плодотворные периоды связаны с именем П. Л. Чебышева (1821 - 1894) и его учеников.

Однако попытки такой организации образования принимались в России и раньше – по крайней мере, с середины XIX века.

Функционально наиболее удачным оказался самый простой и самый первый проект, в ходе которого в 1864 году произошло дифференцирование среднего образования. Именно тогда появляется классическая гимназия и реальная школа. Первая целенаправленно готовила к поступлению в университет, вторая – ориентировала на практическую деятельность и поступление в специализированные учебные заведения.

Вероятностно-статистический материал обладает огромным воспитывающим потенциалом, его изучение влияет на развитие интеллектуальных способностей, усиливает прикладной аспект курса математики, способствует развитию интереса к предмету.

1. РыбниковК.А. История математики.-М.:МГУ,1994.-496с.

Клейн Ф. Лекции о развитии математики в 19 столетии. -М.: Наука, 1989.

Математика19века.-М.:Наука,1978г.-255с.

История математики с древнейших времен до начала 19 столетия. -М.: Наука, 1970-72.-Т. 1-3