Метод наименьших квадратов
Приложения
1. Значения коэффициентов Стьюдента 
| 0,5
| 0,6
| 0,7
| 0,8
| 0,9
| 0,95
| 0,98
| 0,99
| 0,999
|
| 1,000 0,816 0,765 0,741
| 1,376 1,061 0,978 0,941
| 1,963 1,336 1,250 1,190
| 3,08 1,886 1,638 1,533
| 6,31 2,92 2,35 2,13
| 12,71 4,30 3,18 2,77
| 31,8 6,96 4,54 3,75
| 63,7 9,92 5,84 4,60
| 636,6 31,6 12,94 8,61
|
| 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703
| 0,920 0,906 0,896 0,889 0,883
| 1,156 1,134 1,119 1,108 1,100
| 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383
| 2,02 1,943 1,895 1,860 1,833
| 2.57 2,45 2,36 2,31 2,26
| 3,36 3,14 3,00 2,90 2,82
| 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25
| 6,86 5,96 5,40 5,04 4,78
|
| 0,700 0,697 0,695 0,694 0,692
| 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868
| 1,093 1,088 1,083 1,079 1,076
| 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345
| 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761
| 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14
| 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62
| 3,17 3,11 3,06 3,01 2,98
| 4,59 4,49 4,32 4,22 4,14
|
∞
| 0,691 0,690 0,689 0,688 0,688 0,674
| 0,866 0,865 0,863 0,862 0,861 0,842
| 1,074 1,071 1,069 1,067 1,066 1,036
| 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,282
| 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,645
| 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 1,960
| 2,60 2,58 2,57 2,55 2,54 2,33
| 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,58
| 4,07 4,02 3,96 3,92 3,88 3,29
|
| 0,5
| 0,6
| 0,7
| 0,8
| 0,9
| 0,95
| 0,98
| 0,99
| 0,999
| Здесь – доверительная вероятность; – количество опытов.
Обработка результатов измерений
Прямые измерения
Прямые измерения позволяют непосредственно, при помощи прибо-ров, получить значение интересующей величины. В этом случае резуль-тат измерений представляется в следующем виде:
, (П.1)
где – среднее значение измеренной величины;
– абсолютная ошибка измерений.
Величина абсолютной ошибки определяется следующим образом:
, (П.2)
где – случайная абсолютная погрешность (иногда ее называют по-лушириной доверительного интервала);
– систематическая ошибка измерительного прибора;
– абсолютная погрешность округления.
Как правило, в лабораторном практикуме << , .
Если случайный разброс измеряемой величины отсутствует, то оста-ется только погрешность округления , приближенно равная поло-вине наименьшего значения, измеряемого прибором. Для приборов со шкалами это цена деления шкалы. При работе с табличными величи-нами в качестве погрешности округления берется половина цены млад-шего разряда величины.
Например, если дается значение сопротивления , то ошибка округления составляет , т.е. число записано с точностью до .
При наличии только случайных погрешностей результат измерений будет записан в виде
. (П.3)
При этом рассчитывается следующим образом:
, (П.4)
где – число опытов;
– коэффициент Стьюдента, величина которого зависит от и доверительной вероятности . Здесь – вероятность того, что мате-матическое ожидание величины (среднее значение при бесконечном числе измерений) окажется внутри интервала , где – среднее значение величины при данном (сделанном Вами) количестве измерений. Для работ в физическом практикуме рекомендуется брать значения или . Таблица значений коэффициентов Стью-дента приведены в Приложении 1.
Замечание. При прямых измерениях времени (ручным секундоме-ром) возникает ошибка, связанная с запаздыванием человеческой реак-ции. При этом ошибка прибора .
После вычисления величины абсолютной ошибки необходимо рас-считать относительную ошибку измерения величины :
. (П.5)
Косвенные измерения
Косвенные измерения позволяют рассчитывать интересующие нас величины по результатам прямых измерений. При этом измеряемая ве-личина является известной функцией от величин , получаемых из прямых измерений. Результат косвенного из-мерения вычисляют, подставляя в формулу для вычисления средние значения :
. (П.6)
При косвенных измерениях абсолютная ошибка величины опреде-ляется по формуле
, (П.7)
где , ,…, - абсолютные ошибки .
В некоторых случаях формулу (П.7) можно упростить.
1. Если , то относительная ошибка величины будет в раз больше относительной ошибки :
. (П.8)
2. Если или , то относительная ошибка величины может быть рассчитана как
, (П.9)
где и – относительные ошибки величин и .
Совместные измерения.
Метод наименьших квадратов
Если в работе одновременно измеряются величины и и пред-полагается, что они зависят друг от друга линейно:
,
то можно вычислить коэффициенты и , при которых сумма квад-ратов отклонений экспериментальных точек от прямой линии будет минимальна (отсюда и название метода).
Коэффициенты и вычисляются следующим образом:
, (П.10)
. (П.11)
Здесь угловые скобки означают средние значения.
Абсолютная ошибка вычисления коэффициента :
, (П.12)
где
. (П.13)
Аналогично вычисляется абсолютная ошибка вычисления коэффи-циента :
, (П.14)
где
. (П.15)
Здесь – число экспериментальных точек.
Запись результатов
Представив результат в виде (П.1), не забудьте округлить его до нужной точности, т.е. до старшей значащей цифры в величине абсолют-ной ошибки.
Например, запись неверна, надо округлить до сотых:
.
Записи или неудобны для чтения; их лучше представить в виде
и . 3. Вычисление производной от функции
Графическим способом
Пример приближенного расчета производной в некоторой точке кривой показан на рис. П.1.
Для расчета производной берем экспериментальную точку , ближайшую к экспериментальной точке . Измеряем катет и катет , затем берем отношение этих катетов . Так поступаем для каждой экспериментальной точки. За-метим, что в данном примере , , поэтому знак произ-водной отрицателен. Если надо получить значение модуля произ-водной, то берем модуль полученного значения . Так получаем значения модуля производной для каждого измерения, т.е. для каждой экспериментальной точки главной кривой.
4. Плотность воздуха в зависимости от
Популярное:
©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1003)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы
|