Тема 1.2. Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

Методические указания по организации практических занятий

для студентов направления подготовки 230100.62 Информатика и вычислительная техника всех форм обучения

 

 

Чайковский, 2015

 

 

Рецензент: канд. ф.-м. наук, доцент кафедры АИИТ К.М. Селиванов

 

Трегубова С.Н. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы: методические указания по организации практических занятий по направлению подготовки 230100.62 Информатика и вычислительная техника / С.Н. Трегубова. – Чайковский, 2015. – 39 с.

 

 

Методические указания по организации практических занятий по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» предназначены для студентов всех форм обучения для закрепления умений и владений, полученных при изучении теоретического материала.

 

Одобрены на заседании кафедры АИИТ.

 

Протокол №_____ от_____________ 2015г.

 

 

©Пермский национальный исследовательский

политехнический университет

Чайковский филиал, 2015

© Трегубова С.Н., 2015

Содержание

 

Введение
Раздел 1. Предмет теории вероятностей. Методы вычисления вероятностей. Случайная величина
Тема 1.1. Основные понятия теории вероятностей
Тема 1.2. Основные теоремы и формулы теории вероятностей
Тема 1.3. Случайная величина, ее числовые характеристики
Раздел 3. Системы случайных величин
Тема 3.1. Системы случайных величин
Раздел 4. Законы больших чисел и центральная предельная теорема
Тема 4.1. Законы больших чисел и центральная предельная теорема
Раздел 5. Математическая статистика
Тема 5.1. Выборки и их характеристики
Тема 5.2. Элементы теории оценок и проверки гипотез
Раздел 6. Случайные процессы
Тема 6.1. Основы теории случайных процессов
Список литературы
Приложение 1
Приложение 2

Введение

Дисциплина «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» участвует в формировании следующей компетенции (ОК-10):

- использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования.

Освоение дисциплины предполагает достижение следующих результатов обучения (компонентов выше указанной компетенции):

Знать:

- основные понятия и положения разделов высшей математики, которые будут использоваться в профессиональной деятельности,

- теорию вероятностей и математическую статистику случайных процессов, статистического оценивания и проверки гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.

Уметь:

- применять вероятностно-статистический подход при решении технических задач;

- использовать математические методы и модели в технических приложениях;

- обрабатывать эмпирические и экспериментальные данные.

Владеть:

- методами теории вероятностей и математической статистики, математической логики, теории графов и теории алгоритмов;

- математическими, статистическими и количественными методами решения типовых профессиональных задач;

- методами организации вычислительных экспериментов в области профессиональной деятельности;

- методами построения математической модели типовых профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных результатов.

 

Раздел 1. Предмет теории вероятностей. Методы вычисления вероятностей. Случайная величина

Тема 1.1. Основные понятия теории вероятностей

 

Образцы решения

Пример1. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым.

 

Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С.

Тогда получаем:

 

Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пример 2. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить из 7 различных фамилий?

Решение. Р₇ = 7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040.

Пример 3. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе, третье места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек?

Решение.

Пример 4. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?

Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:

 

1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

2. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать для выполнения различных заданий двух студентов одного пола?

3. Составить различные размещения по 2 из элементов множества ; подсчитать их число.

4. Составить различные перестановки из элементов множества ; подсчитать их число.

5. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

6. Составить различные сочетания по 2 из элементов множества ; подсчитать их число.

7. Из элементов a, b, c составить все размещения по два элемента с повторениями.

8. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры: а) 2, 5, 7, 8; б) 0,1, 9?

9. Из трех элементов a, b, c составить все сочетания по два элемента с повторениями.

10. Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов, если в наличии есть цветы трех сортов?

11. Сколько различных пятизначных чисел можно составить, используя цифры: 3, 3, 5, 5, 8?

12. Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно образовать из букв слова БУРАН?

13. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?

14. Группа студентов изучает 10 различных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в понедельник, если в этот день должно быть 4 разных занятия?

15. Из 10 мальчиков и 10 девочек спортивного класса для участия в эстафете надо составить три команды, каждая их которых состоит из мальчика и девочки. Сколькими способами это можно сделать?

16. Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различны?

17. В электричке 12 вагонов. Сколько существует способов размещения 4 пассажиров, если в одном вагоне должно быть не более одного пассажира?

18. Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 10 участниками соревнования?

19. Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать 3 студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?

20. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, чтобы определенные три книги стояли рядом? Не рядом?

21. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом? (Рассматривается только расположение сидящих относительно друг друга.)

22. 10 студентов, среди которых С. Федин и А. Шилов, случайным образом занимают очередь в библиотеку. Сколько имеется вариантов расстановки студентов, когда между Фединым и Шиловым окажется 6 студентов?

23. У одного школьника имеется 7 различных книг для обмена, а у другого – 16. Сколькими способами они могут осуществить обмен: книга на книгу? Две книги на две книги?

24. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было: а) 5 черных; б) 3 белых и 2 черных?

25. Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на хорошо и отлично. Сколькими способами могли быть поставлены им оценки?

26. Игральная кость (на ее 6 гранях нанесены цифры от 1 до 6) бросается 3 раза. Сколько существует вариантов выпадения очков в данном опыте? Напишите некоторые их них.

27. Сколькими способами можно распределить 6 различных подарков между четырьмя детьми?

28. Сколькими способами можно составить набор из 6 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных?

29. Группа учащихся из 8 человек отправляется в путешествие по Крыму. Сколькими способами можно составить группу из учащихся 5-7 классов?

30. Сколькими способами можно распределить 4 книги на трех полках книжного шкафа? Найти число способов расстановки книг на полках, если порядок их расположения на полке имеет значение.

31. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове а) ГОРА; б) ИНСТИТУТ?

32. Сколько существует способов размещения 9 человек в двухместный, трехместный и четырехместный номера гостиницы?

33. Сколькими способами можно распределить 16 видов товаров по трем магазинам, если в 1-й магазин надо доставить 9, во 2-й – 4, а в 3-й – 3 вида товаров?

34. Из города А в город В можно добраться четырьмя дорогами, из В в С ведут две дороги, из С в D – три дороги. Сколькими путями можно добраться: 1) из А в С; 2) из В в D; 3) из А в D?

35. На вершину горы ведет 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на нее и спуститься вниз? Дайте ответ на тот же вопрос, если подъем и спуск осуществляются различными путями.

36. Металлург, изучающий сплавы, при проведении эксперимента может использовать 3 различных температурных режима, 6 различных значений времени остывания и 4 различных присадки меди. Выбор температурного режима, значения времени остывания и типа присадки полностью определяет эксперимент. На эксперимент уходит один рабочий день. Хватит ли трех месяцев для проведения всей работы, если в месяце 25 рабочих дней?

37. Из корзины, содержащей 4 занумерованных шара, последовательно берут два шара. Определите число элементов пространства элементарных исходов этого опыта, если шары в корзину после каждого извлечения: 1) возвращаются; 2) не возвращаются.

38. Найти число способов извлечения из 36 игральных карт двух тузов и двух королей.

39. Два букиниста обмениваются друг с другом парами книг. Найти число способов обмена, если первый букинист обменивает 6 книг, а второй – 8 книг.

Тема 1.2. Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Образцы решения

Пример 5. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.

 

Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты – событие А, появление хотя бы одной червонной карты – событие В. Таким образом нам надо определить вероятность события С = А + В.

Кроме того, события А и В – совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого.

Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт.

При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни червонной, ни бубновой карты равна , при вытаскивании второй карты - , третьей - , четвертой - .

Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни червонных равна .

Тогда

 

Пример 6. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?

Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости равна . Вероятность того, что не выпадет 6 очков - . Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков равна .

Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков равна .

Пример 7. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза. Найти вероятности хотя бы одного выстрела, двух выстрелов, двух осечек.

Вероятность выстрела при первом нажатии на курок (событие А) равна , вероятность осечки - Вероятность выстрела при втором нажатии на курок зависит от результата первого нажатия.

Так если в первом случае произошел выстрел, то в барабане осталось только 3 патрона, причем они распределены по 5 гнездам, т.к. при втором нажатии на курок напротив ствола не может оказаться гнездо, в котором был патрон при первом нажатии на курок.

Условная вероятность выстрела при второй попытке - если в первый раз был выстрел, - если в первый раз произошла осечка.

Условная вероятность осечки во второй раз - , если в первый раз произошел выстрел, - если в первый раз была осечка.

Рассмотрим вероятности того, что во втором случае произойдет выстрел (событие В) или произойдет осечка (событие ) при условии, что в первом случае произошел выстрел (событие А) или осечка (событие ).

 

- два выстрела подряд;

- первая осечка, второй выстрел;

- первый выстрел, вторая осечка;

- две осечки подряд.

Эти четыре случая образуют полную группу событий (сумма их вероятностей равна единице)

Анализируя полученные результаты, видим, что вероятность хотя бы одного выстрела равна сумме

Теперь рассмотрим другой случай. Предположим, что после первого нажатия на курок барабан раскрутили и опять нажали на курок.

Вероятности первого выстрела и первой осечки не изменились - , Условные вероятности второго выстрела и осечки вычисляются из условия, что напротив ствола может оказаться то же гнездо, что и в первый раз.

Условная вероятность выстрела при второй попытке - если в первый раз был выстрел, - если в первый раз произошла осечка.

Условная вероятность осечки во второй раз - , если в первый раз произошел выстрел, - если была осечка.

Тогда:

- два выстрела подряд;

- первая осечка, второй выстрел;

- первый выстрел, вторая осечка;

- две осечки подряд.

В этом случае вероятность того, что произойдет хотя бы один выстрел, равна

Ниже показаны диаграммы вероятностей для первого и второго рассмотренных случаев.

Пример 8. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

 

Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А, вторым – событие В, промах первого стрелка – событие , промах второго – событие .

 

Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна

Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна

Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна

Тот же результат можно получить другим способом – находим вероятности того, что оба стрелка попали в цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны:

Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна:

Пример 9. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

 

Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна .

Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

 

- для первого стрелка:

- для второго стрелка:

- для третьего стрелка:

 

Искомая вероятность равна:

.

Пример 10. Трое охотников одновременно выстрелили по медведю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что медведь был убит первым стрелком, если вероятности попадания для этих стрелков равны соответственно 0,3, 0,4, 0,5.

 

В этой задаче требуется определить вероятность гипотезы уже после того, как событие уже совершилось. Для определения искомой вероятности надо воспользоваться формулой Бейеса. В нашем случае она имеет вид:

 

 

В этой формуле Н₁, Н₂, Н₃ – гипотезы, что медведя убьет первый, второй и третий стрелок соответственно. До произведения выстрелов эти гипотезы равновероятны и их вероятность равна .

P(H₁/A) – вероятность того, что медведя убил первый стрелок при условии, что выстрелы уже произведены (событие А).

Вероятности того, что медведя убьет первый, второй или третий стрелок, вычисленные до выстрелов, равны соответственно:

Здесь q₁ = 0,7; q₂ = 0,6; q₃ = 0,5 – вероятности промаха для каждого из стрелков, рассчитаны как q = 1 – p, где р – вероятности попадания для каждого из стрелков.

Подставим эти значения в формулу Бейеса:

 

Пример 11. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.

 

Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий.

Т.к. выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли вероятности того, что в т испытаниях событие в вероятностью р наступает ровно п раз.

 

.

В случае пяти попаданий из пяти возможных:

.

Четыре попадания из пяти выстрелов:

.

Три попадания из пяти:

.

Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов:

.

 

1. Абонент забыл две промежуточные цифры номера телефона и набрал их наугад. Найти вероятность того, что номер набран правильно в случаях: а) две разные цифры расположены в номере рядом; б) обе цифры расположены в разных местах, за исключением первой позиции.

2. В урне находится 10 шаров, 7 из которых белые. Найти вероятность того, что из 6 взятых наугад шаров будет 4 белых.

3. В ящике имеется 15 деталей, из которых 10 стандартных. Сборщик наугад берет 3 детали. Найти вероятность того, что все взятые детали окажутся стандартными.

4. В урне 40 шаров: 15 белых, 15 красных и 10 синих. Найти вероятность появления цветного шара, синего шара.

5. В лотерее разыгрывается 200 вещевых и 50 денежных выигрышей на каждые 10 тысяч билетов. Чему равна вероятность выигрыша вообще?

6. В читальном зале имеется 6 учебников, из которых три нового выпуска. Читатель последовательно, один за другим, взял 2 учебника. Найти вероятность того, что обе взятые книги нового выпуска.

7. Три автомашины направлены на перевозку груза. Вероятность исправного состояния первой из них составляет 0,7, второй – 0,8 и третьей – 0,5. Найти вероятность того, что все три автомашины находятся в эксплуатации.

8. В автохозяйстве имеются две автоцистерны. Вероятность технической исправности машин составляет соответственно 0,9 и 0,8. Найти вероятность исполнения второй автоцистерной работы заказчику, сделавшему накануне заказ на автоцистерну.

9. Инвестор решил вложить поровну средств в три предприятия при условии возврата ему каждым предприятием через определенный срок 150% от вложенной суммы. Вероятность банкротства каждого из предприятий 0,2. Найти вероятность того, что по истечении срока кредитования инвестор получит обратно по крайней мере вложенную сумму.

10. При проверке изделия на соответствие стандарту вероятность того, что оно пройдет через первого контролера, равна 0,55, а через второго – 0,45. Вероятность признания изделия без брака стандартным у первого контролера равна 0,9, а у второго – 0,98. Контролеры имеют различную квалификацию. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие прошло через второго контролера.

11. Три стрелка выстрелили залпом по цели, и две пули поразили ее. Найти вероятность того, что первый стрелок поразил цель, если вероятность попадания в цель стрелками равны 0,4, 0,3 и 0,5 соответственно.

12. Вероятность рождения девочки равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 девочек.

13. Вероятность появления события равна 0,7 в каждом из 2100 независимых испытаний. Найти вероятность появления события: а) не менее 1470 раз; б) не менее 1470 и не более 1500 раз; в) не более 1469 раз.

14. Вероятность обращения в поликлинику каждого взрослого человека в период эпидемии гриппа равна 0,8. Найти, среди какого числа взрослых можно ожидать, что в поликлинику будет не менее 75 обращений.

15. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. ден. ед. при условии возврата 110% от этой суммы. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью: а) 0,8; б) 0,995?

16. В урне 10 белых, 15 чёрных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий или красный; белый, черный или синий.

17. В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

18. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – чёрный.

19. В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Какова вероятность, что оба шара белые?

20. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75; для второго – 0,8; для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

21. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что в цель попадает хотя бы один стрелок.

22. В урне 20 белых и 10 чёрных шаров. Вынули подряд четыре шара, причём каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырёх вынутых шаров окажется два белых?

23. Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трёх раз?

24. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

25. Имеются четыре урны. В первой урне 1 белый и 1 чёрный шар, во второй – 2 белых и 3 чёрных шара, в третьей – 3 белых и пять чёрных шаров, и четвёртой – 4 белых и 7 чёрных шаров. Событие Н_i – выбор i-й урны (i = 1,2,3,4). Известно, что вероятность выбора i-й урны равна i/10, т.е. Р(Н₁) = 1/10, Р(Н₂) = 2/10, Р(Н₃) = 3/10, Р(Н₄) = 4/10. Выбирают наугад одну из урн и вынимают из неё шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

26. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 чёрных шаров, в третьем – 20 чёрных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

27. Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки А, А, М, М. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «МАМА»?

28. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков четное.

29. В квадрат с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) наудачу брошена точка (х,у). Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству у<2х.

30. Имеется пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что

а) все три билета стоят вместе семь рублей,

б) все три билета стоимостью по одному рублю.

31. Из урны, содержащей 5 белых шаров и 5 черных, наудачу достают 6 штук. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров окажется одинаковое число черных и белых (шары отличаются только цветом).

32. Двадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся выучил 35 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого нужно ответить на два вопроса билета или на один вопрос билета и один дополнительный вопрос из другого билета.

33. Из урны, содержащей 5 шаров с номерами от 1 до 5, последовательно извлекаются два шара, причем первый шар возвращается, если номер не равен единице. Определить вероятность того, что шар с номером два будет извлечен при втором извлечении.

34. В каждой из двух урн находятся 5 белых шаров и 10 черных. Из первой урны во вторую наудачу переложили один шар, а затем из второй урны наугад вынули один шар. Найти вероятность того, что шар, вынутый из второй урны, окажется белым.

35. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

36. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:

а) два мальчика,

б) не более двух мальчиков,

в) более двух мальчиков,

г) не менее двух и не более трех мальчиков.

Принять вероятность рождения мальчика равной 0,51.

37. Вероятность получения бракованной детали равна 0,01. Какова вероятность того, что среди 400 деталей бракованных окажется:

а) 3 детали;

б) хотя бы одна.

38. При передаче сообщения на расстояние вероятность искажения одного знака равна 0,01. Какова вероятность того, что при передаче сообщения из 300 знаков: а) не будет ни одного искажения, б) будет два искажения, в) будет хотя бы одно искажение?

39. Определить надежность схемы, если P_i – надежность i – го элемента

40. Числа 1,2,3,4,5 написаны на пяти карточках. Наугад последовательно выбираются три карточки и располагаются в порядке появления слева направо. Найти вероятность того, что полученное при этом трехзначное число будет четным.

41. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков равно 8.

42. На отрезок АВ длиной 12 см наугад ставят точку М. Найдите вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке АМ, будет между 36 см² и 81 см².

43. В лотерее N билетов, из которых M выигрышных. Участник купил k билетов. Какова вероятность того, что он ни по одному билету не выиграет?

44. В ящике 10 деталей, среди которых 5 бракованных. Наудачу достают 3 детали. Найти вероятность следующих событий:

а) все детали окажутся годными;

б) две детали окажутся годными и одна бракованная.

45. Какова вероятность, что наудачу выбранное пятизначное число содержит только нечетные цифры?

46. Из ящика, где 12 деталей 1 категории и 20 деталей второй категории, наудачу без возвращения извлекли 2 детали. Найти вероятность того, что вторая деталь 1 категории.

47. В каждой из двух урн имеются по 7 белых и 3 черных шара. Из первой урны во вторую наудачу переложены два шара. После этого из второй урны наудачу достают один шар. Какова вероятность что он окажется белый?

48. Две перфораторщицы набили на перфораторах по одному комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. Предполагается ,что оба перфоратора были исправны.

49. Монету подбрасывают 100 раз. Найти наивероятнейшее число появлений герба и вероятность такого результата.

50. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

51. Пусть вероятность нарушения герметичности банки консервов равна 0,0005.Найти вероятность того, что среди 2000 банок две окажутся с нарушением герметичности.

52. Определить надежность схемы, если P_i – надежность i – го элемента

53. Два игрока бросают монету по два раза каждый. Выигравшим считается тот, кто получит больше гербов. Найти вероятность того, что выигрывает первый игрок.

54. Устройство секретного замка включает в себя 4 ячейки. В первой ячейке осуществляется набор одной из четырех букв A, B, C, D, в трех остальных – одной из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (цифры могут повторяться). Чемуравнавероятность того, что замок будет открыт с первой попытки?

55. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 10 см. На плоскость наудачу бросается монета радиуса 2 см. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

56. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

57. В ящике лежат 10 красных, 8 синих и 5 зеленых шаров; шары отличаются только цветом. Наудачу вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба вынутых шара окажутся одного цвета?

58. Два игрока поочередно бросают монету. Выигрывает тот, кто первым получит герб. Найти вероятность выигрыша для первого игрока.

59. В лотерее 100 билетов из которых 20 выигрышных. Участник покупает два билета. Определить вероятность того, что хотя бы один билет будет выигрышным.

60. По самолету производится два выстрела, вероятность попадания при каждом равна 0,6. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,5, при двух – с вероятностью 0,9. Какова вероятность, что самолет будет сбит?

61. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

62. Вероятность появления события А в каждом опыте равна 0,3. Опыт повторяется 5 раз. Найти вероятность того, что событие появляется не более 2 раз.

63. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не белее чем на 0,02.

64. Вероятность появления события в одном испытании равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонение относительной частоты появления события от его вероятности не более, чем на 0,05.

65. Определить надежность схемы, если P_i – надежность i – го элемента