Основные показатели эффективности работы СМО, вычисленные с помощью средств системы MATLAB и результаты моделирования

Условие задачи

На склад с одним бункерным приемным устройством поступабт полувагоны с сыпучими грузами под разгрузку. Интервалы времени между прибытиями подач вагонов – независимые, одинаково распределенные случайные величины, имеющие показательный закон распределения с параметром λ = 4 подачи в сутки. Время разгрузки одной подачи вагонов имеет показательный закон распределения со средним значением четыре с половиной часа. Вместимость путей для ожидания последующими подачами вагонов не ограниченно.

Кодировка Кендалла для данной СМО

M – простейший поток

М – показательный закон распределения

m = 1 – количество обслуживающих устройств

Кодировка Кендалла для данной СМО имеет вид:

М|M|1 с ожиданием λ = 4/24=1/6, μ = 1/4,5

В этой системе обслуживающим устройством является одно бункерное приемное устройство. Клиентом в этой системе являются полувагоны с сыпучими грузами.

Формулы для распределений интервалов во входном потоке и длительности обслуживания

Показательный закон распределения:

A(t) = 1- e^-λt

По условию задачи интенсивность λ = 4 подачи/сутки, тогда:

A(t) = 1- e^-4t, t ≥ 0

Пусть v₁,v_{2, . . .} v_k – время разгрузки одной подачи вагонов

B(t) = P(v_k ≤ t) = 1- e^-μt

Среднее время разгрузки одной подачи вагонов = 4,5 ч.

Диаграмма интенсивностей переходов между состояниями

 

Инфинитезимальной матрицей однородной марковской цепи (цепи в непрерывном времени) называется матрица Q, составленная из правых производных в нуле от элементов матрицы P(t) вероятностей перехода за время t.

Инфинитезимальная матрица имеет следующий вид:

Для СМО вида М|M|1 верно следующее:

 

 

 

 

Стохастические графы

1/6 1/6 1/6 1/6

…

 

10/45 11/45 12/45 12/45

 

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для определения вероятностей состояния СМО в произвольный момент времени

 

…

Проверка условий наличия стационарного режима

Условие, при котором существует стационарный режим СМО с ожиданием:

Загрузка системы:

Загрузка СМО, приходящаяся на один прибор:

Вывод: р_m < 1 значит данная система имеет стационарный режим.

Системы уравнений для определения стационарных вероятностных состояний

Решение системы в п.7, т.е. стационарные вероятности состояний СМО

В частном случае системы М|M|1|∞ :

– вероятность простоя;

- вероятность стационарного состояния;

;

– вероятность того, что требование будет обслужено после некоторого ожидания;

– вероятность того, что поступившее требование будет обслужено без ожидания;

– среднее число требований, находящихся в СМО;

– среднее число требований, находящихся в очереди;

– среднее число занятых приборов

–среднее время ожидания начала обслуживания;

 

 

Основные показатели эффективности работы СМО, вычисленные с помощью средств системы MATLAB и результаты моделирования

Вычисление числовых характеристик открытой марковской системы M|M|1 с ожиданием

%Ввод исходных данных

lambda=4/24; mu=1/4.5;

m=1;

rho=lambda/mu; rho_m=rho/m;

% Проверка условия существования стационарного режима

if rho_m>=1,

disp('СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА НЕ СУЩЕСТВУЕТ');

else

disp('СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ СУЩЕСТВУЕТ');

K=input('СКОЛЬКО ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЯТЬ?');

while K<=m

disp('K ДОЛЖНО БЫТЬ НЕ МЕНЕЕ m+1');

K=input('СКОЛЬКО ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЯТЬ?');

end;

%Вычисление вероятностей

x=1:m;

x1=ones(1,K-1-m)*m;

xx=[x,x1];

slave1=ones(1,K-1)*rho;

slave2=slave1./xx;

slave=cumprod(slave2);

disp('ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОСТОЯ');

P0=1/(1+sum(slave(1:m-1))+slave(m)/(1-rho_m)); disp(P0);

disp('ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЙ 1,...,K-1');

Psost=slave*P0; disp(Psost);

disp('ВЕРОЯТНОСТЬ ОЖИДАНИЯ ПЕРЕД ОБСЛУЖИВАНИЕМ');

Pw=Psost(m)/(1-rho_m); disp(Pw);

disp('ВЕРОЯТНОСТЬ ОБСЛУЖИВАНИЯ БЕЗ ОЖИДАНИЯ');

Pww=1-Pw; disp(Pww);

disp('СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ЗАЯВОК В СИСТЕМЕ');

k=1:m-1;

Qsr=k*(Psost(1:m-1))'+m*Pw+Psost(m)*rho_m/(1-rho_m)^2;

disp(Qsr);

disp('СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ЗАЯВОК В ОЧЕРЕДИ');

qsr=Psost(m)*rho_m/(1-rho_m)^2; disp(qsr);

disp('СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ЗАНЯТЫХ ПРИБОРОВ');

qs=Qsr-qsr; disp(qs);

disp('СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ОЖИДАНИЯ');

W=qsr/lambda; disp(W);

disp('СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ПРЕБЫВАНИЯ В СИСТЕМЕ');

T=Qsr/lambda; disp(T);

%График функции распределения

t=0:0.01:10;

FW=1-Pw*exp(-(m*mu-lambda)*t);

plot(t,FW);

end;

 

 

Результат работы программы:

 

СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ СУЩЕСТВУЕТ

СКОЛЬКО ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЯТЬ?5

ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОСТОЯ

0.2500

 

ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЙ 1,...,K-1

0.1875 0.1406 0.1055 0.0791

 

ВЕРОЯТНОСТЬ ОЖИДАНИЯ ПЕРЕД ОБСЛУЖИВАНИЕМ

0.7500

 

ВЕРОЯТНОСТЬ ОБСЛУЖИВАНИЯ БЕЗ ОЖИДАНИЯ

0.2500

 

СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ЗАЯВОК В СИСТЕМЕ

 

СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ЗАЯВОК В ОЧЕРЕДИ

2.2500

 

СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ЗАНЯТЫХ ПРИБОРОВ

0.7500

 

СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ОЖИДАНИЯ

13.5000

 

СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ПРЕБЫВАНИЯ В СИСТЕМЕ

 

 

Fw(t)

 

 

Моделирование открытой СМО М|M|1|∞ с ожиданием

clc

lambda=4/24; mu=1/4.5; m=1;

Num=input('Число изменений состояния системы за время моделирования');

s=1;

T=zeros(1,Num);

Qt=zeros(1,Num);

Time=zeros(1,Num);

for i=2:Num,

if Qt(i-1)==0

v=inf;u=-log(rand)/lambda;

else

u=-log(rand)/lambda;

qs=min(m,Qt(i-1));

v=-log(rand)/(qs*mu);

end;

delta_time=min(u,v);

T(i)=T(i-1)+delta_time;

Time(s)=Time(s)+delta_time;

if u<v

Qt(i)=Qt(i-1)+1;

else

Qt(i)=Qt(i-1)-1;

end;

s=Qt(i)+1;

end;

z=zeros(1,Num);

mvect=ones(1,Num)*m;

qt=max(z,Qt-mvect);

subplot(211);plot(T,Qt);

title('СКОЛЬКО КЛИЕНТОВ В СИСТЕМЕ');

subplot(212);plot(T,qt);

title('СКОЛЬКО КЛИЕНТОВ В ОЧЕРЕДИ');

disp('оценки характеристик системы M|M|1 с ожиданием');

disp('полученные на основе моделирования');

Psost=Time/T(Num);

disp('вероятность простоя'); disp(Psost(1));

N=input('Количество вероятностей,которые необходимо вывести на экран');

disp('вероятности состояний 1,...,N'); disp(Psost(2:N+1));

disp('вероятность ожидания'); Pw=1-sum(Psost(1:m)); disp(Pw);

disp('среднее число заявок в системе');

k=0:(Num-1);Qsr=k*Psost'; disp(Qsr);

disp('Среднее число заявок в очереди');

qsr=max(z,k-m)*Psost'; disp(qsr);

 

 

Результат работы программы:

 

Число изменений состояния системы за время моделирования500

оценки характеристик системы M|M|1 с ожиданием

полученные на основе моделирования

вероятность простоя

0.2469

Количество вероятностей,которые необходимо вывести на экран10

вероятности состояний 1,...,N

Columns 1 through 7

 

0.1588 0.1428 0.1106 0.0825 0.0582 0.0393 0.0322

 

Columns 8 through 10

 

0.0519 0.0415 0.0214

 

вероятность ожидания

0.7531

 

среднее число заявок в системе

3.0140

 

Среднее число заявок в очереди

2.2609

 

 

 

Таблица сравнений

Таблица 1

Основные характеристики	Результаты расчета в системе MATLAB	Результаты ручного расчета	Результаты на основе моделирования
p0 вероятность простоя	0.2500	0.25	0,2469
pk вероятность стационарного состояния	0.1875 0.1406 0.1055 0.0791	0.1875 0.1406 0.1055 0.0791	0,1588 0,1428 0,1106 0,0825
pw вероятность ожидания перед обслуживанием	0.7500	0.75	0.7531
Вероятность обслуживания без ожидания	0.2500	0.25	-
Среднее число заявок в системе			3.0140
Среднее число заявок в очереди	2.2500	2.25	2.2609
Среднее число занятых приборов	0.7500	0.75	-
Среднее время ожидания	13.5000	13.5	-
T Среднее время пребывания в системе			-