Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Приближение сильной связи




Теоретическая часть

Зонная теория твердого тела позволяет с единой квантовомеханической точки зрения объяснить существование металлов, полупроводников и диэлектриков, их электрофизические свойства. В основе зонной теории лежит формирование и заполнение электронами разрешенных и запрещенных энергетических зон с учетом принципа Паули и элементов статистики.

Для определения энергетических состояний электрона в рамках зонной теории твердого тела решается нерелятивистское уравнение Шредингера

Где Ψ(r) – волновая функция электрона.

Точный учет потенциальной энергии кулоновского взаимодействия электрона с электрическим полем кристаллической решетки V(r) приводит к тому, что решение уравнения Шредингера сводится к задаче многих частиц. В результате мы получаем систему уравнений порядка 1023, решить которую даже современными компьютерными методами невозможно, поэтому для решения этой задачи используют различные приближения. Так, например, адиабатическое приближение основано на том, что масса ядра в атоме много больше массы электрона, поэтому скорость движения ядра уступает примерно на два порядка скорости движения электронов. Это позволяет в первом приближении рассматривать только движение электронов в поле неподвижных ядер. Другое, более распространенное приближение – одноэлектронное, или метод Харти – Фока. В этой модели энергия попарного взаимодействия электронов в кристаллической решетке заменяется взаимодействием одного электрона с усредненным самосогласованным полем всех остальных электронов.

Мы рассмотрим состояние энергии электрона в кристалле – приближения сильной связи.

Приближение сильной связи.

В рамках приближения сильной связи предполагается, что электроны находятся в потенциальных ямах своих атомов (являются квазисвязанными). Если энергия электрона меньше высоты потенциального барьера, то с классической точки зрения такой барьер не проницаем для электрона, а с точки зрения квантовой теории существует вероятность прохождения электрона сквозь потенциальный барьер конечной ширины вследствие туннельного эффекта. Рассмотрим формирование кристалла в рамках приближения сильной связи (рис.1).



Рис.1. Расщепление энергетических уровней при сближении атомов.

Сначала N атомов, расположены далеко друг от друга, а их энергетические уровни 2N–кратно вырождены. При сближении атомов в кристаллическую решетку вырождение энергетических уровней снимается. Дискретные энергетические уровни атомов взаимодействуют друг с другом и расщепляются в энергетические зоны. Взаимодействие между атомами может привести к перекрытию двух отдельных зон, в таком случае получится одна зона с числом электронных состояний равным сумме этих состояний в перекрывшихся зонах. И в этом случае число электронных состояний окажется кратным 2N.

Энергетическая зона или совокупность энергетических зон, образовавшихся в результате расщепления одного или нескольких энергетических уровней изолированных атомов при объединении их в кристаллы, называется разрешенной зоной. К разрешенным зонам относят валентную зону и зону проводимости. На зонных схемах приняты также обозначения дна зоны проводимости – EC и потолка валентной зоны – EV (рис.2.2).

В рамках приближения сильной связи рассматриваются связанные электроны валентной зоны, которые могут, преодолев потенциальный барьер, стать свободными электронами зоны проводимости. Этот процесс называется генерацией свободных носителей заряда (переход G на рис. 2).

 

Рис. 2 Зонная схема Полупроводника

В результате таких переходов в валентной зоне появляются свободные энергетические уровни, отсутствие электронов на которых следует трактовать как наличие на них фиктивных зарядов - дырок. Переход электронов из зоны проводимости в валентную зону называется рекомбинацией (переход R на рис. 2). Область значений энергии, которыми не может обладать электрон, называется запрещенной зоной. Ширина запрещенной зоны – это разность энергий между нижним уровнем одной разрешенной зоны и верхним уровнем соседней запрещенной Eg = EC − EV . Чем шире запрещенная зона, тем меньше электронов способно преодолеть ее. Высота потенциального барьера соответствует ширине запрещенной зоны. По ширине запрещенной зоны можно провести классификацию твердых тел на металлы, диэлектрики и полупроводники. Если ширина запрещенной зоны Eg > 2÷3 эВ, то твердое тело называется диэлектриком. При абсолютном нуле температуры диэлектрик имеет полностью заполненную валентную зону и пустую зону проводимости. В случае, когда валентная зона заполнена частично, или наблюдается перекрытие зон, при этом запрещенная зона отсутствует Eg → 0, такое твердое тело является металлом. Промежуточное положение занимают полупроводники. Различие между полупроводниками и диэлектриками чисто условное. Можно сказать, что полупроводники – это диэлектрики с Eg < 2 эВ, у которых при низкой температуре все состояния в валентной зоне заполнены электронами.

Практическая часть

Задание

Используя приближение сильной связи, найти собственные значения энергии нижнего края зоны в случае для случая одномерной решетки с периодом π (π/2, π) , если потенциал имеет вид

Предположить, что атомные волновые функции такие, как и у простого гармонического осциллятора,

где – подгоночный параметр выбираем так, чтобы энергия, отвечающая состоянию φ ( x) была минимальной.

Решение

Поскольку потенциал вблизи минимум является параболическим, атомные волновые функции можно аппроксимировать следующим образом:

Интегралы, фигурирующие в расчете, имеют вид

Основные приближения этого метода заключается в том, что мы пренебрегаем всеми , кроме тех, для которых . Пренебрегая при суммировании всеми членами, кроме двух, соответствующих двум соседним ячейками, получаем

Условие минимума величины ℰ как функции дает уравнение уравнение cosπk для каждого значения . Значения ℰ, и k, полученные таким способом, приведены в табл. 1.

Таблица 1

k ℰ 0,674 0,0 -3,463 0,680 0,37 -3,363 0,700 0,502 -3,277 0,750 0,623 -3,163 0,800 0,703 -3,070 0,900 0,925 -2,884 0,910 1,0 -2,870

Заметим, что на границе зоны результаты этого расчета получаются менее точными, чем полученные в [3]. Это объясняется тем, что волновая функция состояния на границе зоны лучше описывается комбинацией волновой функции основного состояния и атомных функций возмущенных состояний, а в нашем разложении последние опущены.

Список литературы

1. О.Ю.Шевченко. Основы физики твердого тела : учебное пособие / СПб., 2010. — 78 с.

2. Г. Дж. Голдсмид. Задачи по физике твердого тела / перевод А.А. Гусева, М.П. Шаскольская – М.: «Наука», 1976. – 432с.

3. Tables relating to Mathieu Functions, Columbia University Press, 1951.





Читайте также:


Рекомендуемые страницы:


Читайте также:
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1735)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.005 сек.)