Найти указанные пределы

Примеры решения задач

Задача 1

Найти указанные пределы:

1) ; ; b)

2) ;

3) ;

а) При подстановке вместо переменной ее предельного значения 2 получаем

= =

б) При подстановке вместо переменной ее предельного значения -1 получается неопределенность вида .

Для избавления от этого типа неопределенности в нашем случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой:

где - корни квадратного трехчлена

У нас , так как дискриминант квадратного трехчлена

следовательно, .

Аналогично

Теперь условие примера можно переписать в другом виде и продолжить решение:

Здесь сталкиваемся с неопределенностью , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной или предварительно числитель и знаменатель данной дроби разделить на , где n- наивысшая степень числителя и знаменателя.

Найти пределы:

В первом случае для освобождения от неопределенности будем использовать первый замечательный предел и одно из очевидных следствий:

Решение примера будет выглядеть следующим образом:

Во втором случае для освобождения от неопределенности будем использовать второй замечательный предел и одно из очевидных следствий:

Решение примера будет выглядеть следующим образом:

Вычислить:

Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на сумму

Задача 2.

Найти производные , пользуясь правилами и формулами дифференцирования. При решении всех последующих примеров кроме таблицы производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции.

г) Если задана сложная функция где то есть если каждая из функций и дифференцируема по своему аргументу, то

4) ;

Задача 3.

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления, начертить их графики. Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) Найти область определения функции

2) Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва;

3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;

4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика;

5) найти асимптоты графика функции;

6) построить график, используя результаты предыдущих исследований;

7) для функции найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Решение.

1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента то есть = , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.

2) Исследуем функцию на экстремум и интервалы, монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

. Решая полученные квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки 1 рода: Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума.


+			+
	max	min

3) Определим точки перегиба графика функции, интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

; .

Итак, функция имеет одну критическую точку 2 рода

Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:


–		+
Ç	т.п.	È

Значение является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки:

4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты воспользуемся формулами: ;

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5) Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума , минимума , перегиба и точки пересечения графика с осью

С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую.

6) Найдем наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке Для этого посчитаем значения функции на концах этого отрезка, в критических точках 1 рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:

Очевидно,

Задача 4.

Исследовать следующую функцию и построить схематический график:

1) Область определения:

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки . Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Таким образом, точка является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая -вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.


+		–	не сущ.	–		+
	max				min

4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Так как то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:


–	не сущ.	+
Ç		È

5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот

Таким образом прямая - наклонная асимптота графика.

6) Построение графика.

Очевидно, график заданной функции пересекает ось в точке (0; -5) и на основе обобщения результатов всех предыдущих исследований имеет вид:

Задача 5.

Среди цилиндров, полная поверхность которых равна найти

цилиндр, имеющий наибольший объем.

Решение.

Пусть радиус основания цилиндра равен а высота равна .Тогда

откуда то есть объем цилиндра может быть выражен следующим образом:

Исследуем полученную функцию на максимум при

Имеем при по условию задачи .

Так как при выполняется условие то объем имеет наибольшее значение. При этом поэтому искомые значения радиуса основания и высоты цилиндра равны соответственно 1 и 2.