Найти указанные пределы
Примеры решения задач Задача 1 Найти указанные пределы: 1) ; ; b) 2) ; 3) ; 4) а) При подстановке вместо переменной ее предельного значения 2 получаем = = б) При подстановке вместо переменной ее предельного значения -1 получается неопределенность вида . Для избавления от этого типа неопределенности в нашем случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой: где - корни квадратного трехчлена . У нас , так как дискриминант квадратного трехчлена следовательно, . Аналогично Теперь условие примера можно переписать в другом виде и продолжить решение:
b) Здесь сталкиваемся с неопределенностью , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной или предварительно числитель и знаменатель данной дроби разделить на , где n- наивысшая степень числителя и знаменателя. Найти пределы: 2) 3) В первом случае для освобождения от неопределенности будем использовать первый замечательный предел и одно из очевидных следствий: Решение примера будет выглядеть следующим образом: Во втором случае для освобождения от неопределенности будем использовать второй замечательный предел и одно из очевидных следствий: Решение примера будет выглядеть следующим образом:
Вычислить: 4) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на сумму
Задача 2. Найти производные , пользуясь правилами и формулами дифференцирования. При решении всех последующих примеров кроме таблицы производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции. г) Если задана сложная функция где то есть если каждая из функций и дифференцируема по своему аргументу, то 1) 2) 3) 4) ;
Задача 3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления, начертить их графики. Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) Найти область определения функции 2) Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва; 3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности; 4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика; 5) найти асимптоты графика функции; 6) построить график, используя результаты предыдущих исследований; 7) для функции найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке Решение. 1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента то есть = , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот. 2) Исследуем функцию на экстремум и интервалы, монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю: . Решая полученные квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки 1 рода: Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума.
3) Определим точки перегиба графика функции, интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю: ; .
Итак, функция имеет одну критическую точку 2 рода Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:
Значение является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки: 4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты воспользуемся формулами: ;
Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет. 5) Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума , минимума , перегиба и точки пересечения графика с осью С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую.
6) Найдем наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке Для этого посчитаем значения функции на концах этого отрезка, в критических точках 1 рода, попавших на отрезок, и сравним результаты: Очевидно,
Задача 4. Исследовать следующую функцию и построить схематический график: 1) Область определения: 2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва. Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки . Вычислим ее односторонние пределы в этой точке: Таким образом, точка является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая -вертикальной асимптотой графика. 3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.
4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Так как то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:
5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот Таким образом прямая - наклонная асимптота графика.
6) Построение графика. Очевидно, график заданной функции пересекает ось в точке (0; -5) и на основе обобщения результатов всех предыдущих исследований имеет вид:
Задача 5. Среди цилиндров, полная поверхность которых равна найти цилиндр, имеющий наибольший объем. Решение. Пусть радиус основания цилиндра равен а высота равна .Тогда откуда то есть объем цилиндра может быть выражен следующим образом: . Исследуем полученную функцию на максимум при Имеем при по условию задачи . Так как при выполняется условие то объем имеет наибольшее значение. При этом поэтому искомые значения радиуса основания и высоты цилиндра равны соответственно 1 и 2.
Задача 6. Следующая формула используется для вычислений приближенных значений функций:
Вычислить приближенно Решение. Рассмотрим функцию По формуле имеем: т.е. Так как то при и получаем: Можно показать, что абсолютная погрешность формулы не превышает величины где наибольшее значение на сегменте
Задача 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Решение. Находим критические точки данной функции: при и при Находим Итак, в точке в точке
Расчетные задания Задание № 1 Найти указанные пределы
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (3655)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |