Газ в поле тяжести (распределение Больцмана)

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

1. Плотность вещества,

, . (1)

 

 

2. Концентрация молекул,

, . (2)

 

 

, . (3)

 

 

Давление

, = Па (Паскаль). (4)

- нормальная (перпендикулярная к площадке) составляющая силы , действующей на площадку .

1мм.рт.ст.=133 Па.

 

4. Моль - кол-во вещества, содержащее столько же молекул, сколько их содержит 12 грамм изотопа углерода .

 

Один моль вещества содержит молекул (число Авогадро ).

Молярная масса - масса моля вещества.

Для воды ( ) .

 

 

Масса одной молекулы . (5)

 

 

Количество молей (количество вещества)

 

, . (6)

 

 

5. Температура Т по шкале Кельвина связана с температурой t по Цельсию:

 

T=t+273 K.

 

6. Нормальные условия (н.у.): t=0°С и p=760 мм.рт.ст.

=101,3 кПа.

 

 

ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ.

Условия идеальности газа:

1. можно пренебречь взаимодействием молекул;

2. можно пренебречь собственным объемом молекул;

3. соударения молекул можно рассматривать как абсолютно упругие.

 

Азот N₂, кислород O₂ , водород H₂, пары воды H₂O и другие газы при условиях, близких к нормальным, удовлетворяют условиям идеальности.

 

Законы идеального газа:

 

1. Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений

 

. (7)

 

Парциальное – это давление газа, входящего в смесь.

 

2. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона)

 

, (10)

 

=8,31 Дж/(моль·К) – газовая постоянная.

=1,38·10^-23 Дж/K – постоянная Больцмана.

 

Также :

 

={ } ,

 

, (11)

 

- концентрация молекул.

Основное уравнение МКТ

, (12)

- средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

 

- средняя квадратичная скорость молекул, .

 

.

 

Следствия из основного уравнения МКТ.

1) средняя кинетическая энергия поступательногодвижения молекулы.

 

,

 

.

 

Приравнивая правые части: .

 

 

2) средняя квадратичная скорость молекул

 

,

 

.

 

 

, или

 

 

.

 

 

- масса одной молекулы.

 

 

Распределение Максвелла молекул по скоростям (распределение Максвелла).

- число молекул в каком–либо объеме газа,

- число молекул со скоростями от до ( + ).

 

- относительное число (доля) молекул, движущихся со скоростью .

 

- «функция Максвелла», ее вид установлен Д.Максвеллом,

 

(13)

 

 

Т₂ > T ₁!!

 

Свойства функции Максвелла:

· Площадь, ограниченная функцией и осью , равна единице:

 

= = = 1 .

 

· Наиболее вероятная скорость молекул газа .

 

– скорость, с которой движется наибольшее число молекул при данной температуре (на нее приходится максимум функции Максвелла).

 

= 0 при = (условие max-ма функции).

 

,

 

= =

 

 

= .

 

=0, если = 0.

 

,

 

или , .

 

· Средняя арифметическая скорость молекул.

 

= = , (14)

- число молекул, движущихся со скоростью ,

- полное число молекул.

Т.к. величина скорости распределена непрерывно, то сумма в (14) переходит в интеграл:

 

, или

 

=

 

=

 

После интегрирования:

 

, или

 

. (15)

 

 

· Число молекул со скоростями от до .

 

= = = .

 

 

.

Т.е. доля молекул со скоростями от до равна площади заштрихованного участка на рисунке 1.

 

 

Газ в поле тяжести (распределение Больцмана)

Если плотность среды постоянна, то

, .

,

.

Если плотность меняется, то

. (16)

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

, или .

Подставим в (16):

.

Разделим переменные и проинтегрируем:

,

 

.

 

, ,

. (17)

 

 

Ур-е (17) - «барометрическая формула». Является приближенным, т.к. считалось, что = const.

Т.к. , то для концентраций также:

.

 

. Тогда

.

- потенц энергия молекулы в поле тяжести Земли.

 

- изменение концентрации частиц, в зависимости от величины их потенциальной энергии (распределение Больцмана).