Понятие об устойчивости упругих систем, потеря устойчивости. Критическая нагрузка для сжатого стержня

Л. Эйлер получил формулу для определения теоретической нагрузки (Эйлерова нагрузка), при которой происходит потеря устойчивости стержня. Формула Эйлера: , где Е – модуль Юнга; – минимальный главный центральный момент инерции поперечного сечения стержня (очевидно, что при потере устойчивости изгиб стержня произойдет в плоскости наименьшей изгибной жесткости); – коэффициент приведения длины, зависящий от формы потери устойчивости; l – длина стержня. Произведение - приведенная длина стержня.

Исследование причин разрушения различных сооружений показало, что для надежной работы конструкции под нагрузкой недостаточно сделать ее элементы прочными, необходимо еще обеспечить сохранение первоначальной формы равновесия как самих элементов, так и всей конструкции в целом.

Известно, что равновесие может быть устойчивым, безразличным и неустойчивым.

Равновесие называется устойчивым, если при малом отклонении от положения равновесия система возвращается в первоначальное положение, как только будет устранена причина, вызывающая это отклонение; равновесие называется неустойчивым, если система не возвращается в исходное положение, а отклоняется от него еще больше; равновесие называется безразличным, если новое положение системы после отклонения от исходного остается положением равновесия и после удаления внешнего воздействия.

Эти три формы равновесия можно проиллюстрировать примерами положения шарика на дне чаши, на выпуклой поверхности и на горизонтальной плоскости (рис. 13.1). В первом случае исходное положение шарика является устойчивым, так как при малых отклонениях он возвратится в первоначальное положение, как только будет устранена причина, вызвавшая отклонение. Во втором случае исходное положение шарика может служить примером неустойчивого равновесия, а в третьем - безразличного.

Рис. 13.1	Рис. 13.2

Речь идет о малых отклонениях потому, что устойчивое равновесие при малых отклонениях может стать неустойчивым при больших отклонениях от исходного положения. Примером тому может служить положение шарика на поверхности, представленной на рис. 13.2. При больших отклонениях шарик, очевидно, не будет возвращаться, а при малых отклонениях будет возвращаться в первоначальное положение.

Сказанное относится и к упругим телам. Однако характер равновесия упругих тел существенно зависит от величины действующих на них сил. Например, прямолинейная форма равновесия длинного прямого стержня, подвергнутого осевому сжатию силой Р (рис. 13.3, а), устойчива только до определенного значения сжимающей силы. Если такой стержень при малых значениях силы Р несколько отклонить от исходного положения, то при устранении причин, вызывающих это отклонение, он снова примет первоначальную прямолинейную форму.

Рис. 13.3.

Однако при возрастании силы Р стержень все медленнее и медленнее будет возвращаться к своей первоначальной прямолинейной форме, и, наконец, при некотором значении силы Р, называемом критическим, стержень не распрямится, а сохранит ту форму, которую ему придали (предполагаются малые отклонения стержня от прямолинейной формы). Таким образом, при значении силы Р, равном критическому (P=P_k), стержень будет находиться в условиях безразличного равновесия.

Если сила Р превысит критическое значение, прямолинейная форма равновесия станет неустойчивой.

Практически изгиб стержня начинается раньше, чем сила Р достигает критического значения. Это объясняется неоднородностью материала, начальным искривлением (прогибом) оси реального стержня и некоторым эксцентриситетом в приложении нагрузки. Однако прогибы реального стержня начинают быстро расти и становятся опасными только при приближении сжимающей силы к критическому значению.

Описанное явление изгиба стержня продольной силой называется продольным изгибом.

Аналогичные явления наблюдаются в различных упругих системах, содержащих гибкие сжатые части, тонкие пластинки и оболочки. Так, например, при сжатии кругового тонкостенного кольца равномерно распределенными радиальными нагрузками происходит изменение его первоначальной круговой формы, как только интенсивность сжимающей нагрузки достигает критического значения (рис. 13.3, б).

В практических расчетах на устойчивость критическую нагрузку считают разрушающей и допускаемую нагрузку определяют как часть критической:

,

(13.1)

где n_y - коэффициент запаса устойчивости.

Величина коэффициента запаса устойчивости принимается примерно равной запасу прочности. Например, для стали принимают n_y=2÷4 в зависимости от условий работы конструкции, а для неоднородных материалов запас устойчивости значительно увеличивают.

Следует иметь в виду, что потеря устойчивости может произойти при напряжениях, значительно меньших допускаемых напряжений, принятых для расчета на прочность.

Из многочисленного ряда задач в области устойчивости упругих систем мы рассмотрим только задачу об устойчивости сжатых стержней.