Разложение функции в степенной ряд

Числовые ряды. Основные понятия

№ п/п	Понятие	Определение и обозначение
1.	Ряд
2.	Члены ряда, общий ( n – ый ) член ряда	- бесконечная числовая последовательность, где
3.	Частичные суммы ряда
4.	Последовательность частичных сумм
5.	Сходящиеся ряды	, где – сумма ряда
6.	Расходящиеся ряды
7.	Остаток ряда
Основные свойства сходящихся рядов
сходится		- сходится
сходится, – его сумма		сходится, - его сумма
сходится, – его сумма		- сходится
сходится, – его сумма	- его сумма
Необходимый признак сходимости ряда
- сходится
Замечание:		- расходится

Числовые ряды с положительными членами

Определение - действительные числа
Некоторые ряды и их поведение		Гармонический ряд расходится
	Обобщенный гармонический ряд при
	Ряд геометрический	при
В частности при ряды	расходится
Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами
Признаки сравнения	Интегральный признак Коши	Признак Даламбера	Признак Коши
(1) (2)	, : непрерывная, положительная, невозрастающая     Замечание:
1. где , (при ~ )	Þ	и одновременно сходятся или расходятся	а) - сход. б) - расход.	а) - сход. б) - расход.
2. а) сход.	Þ	сход	Замечание: 1. Если , то признак Даламбера и Коши не дают ответа о поведении ряда. 2. Признак Даламбера иногда используется без предельного перехода: сход., расход.
б) расход.	Þ	расход.
Замечание: В качестве рядов для сравнения удобно выбирать ряды и

Знакопеременные числовые ряды

Определение	, - действительные числа произвольного признака В частности, , - знакочередующийся ряд
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов	1. и сходятся - абсолютно сходится 2. сходится, а расходится - условно сходится
Достаточные признаки сходимости знакопеременных рядов
Признак абсолютной сходимости	Признак Лейбница
- знакопеременный сходится абсолютно сходится	1)		сходится
2)	Þ
3)
Замечание: 1. В сходящемся знакочередующемся ряде сумма S может быть заменена . Получаемая погрешность 2. Убывание модулей членов знакопеременного ряда можно доказать с помощью производной. Если с некоторого номера, то члены ряда убывают с этого номера. 3. Если расходимость ряда установлена признаком Даламбера или признаком Коши, то и ряд расходится, т. к. если или , то .
Алгоритм исследования знакопеременного ряда на сходимость.
1. Составить ряд из абсолютных членов данного ряда и исследовать его сходимость. 2. а) сходится абсолютно сходится; б) расходится 3 исследуй 3. Проверить условия признака Лейбница Если 1) члены чередуются по знаку; 2) 3) то 1) сходится по признаку Лейбница 2) условно сходится, т. к. расходится

Функциональные ряды. Основные понятия

Понятие	Определение и обозначение
1. Функциональный ряд
2. Члены ряда	- функции от
3. Сходимость ряда в точке	сходится сходится в т. расходится расходится в т.
4. Область сходимости ряда	сходится - область сходимости; - находится: или ,
5. Последовательность частичных сумм	, где ,
6. Сумма сходящегося ряда	- сумма ряда
7. Остаток ряда
8. Равномерная сходимость ряда на	и
9. Абсолютная и равномерная сходимость ряда (признак Вейерштрасса)	1. и 2. числовой ряд - сходится	Þ	- сходится абсолютно и равномерно на
Свойства равномерно сходящихся рядов
1. - равномерно сходится на 2. - непрерывна и 3. - его сумма	Þ	1. - непрерывна на 2. , где (почленное интегрирование) 3. - равномерно сходится на , где
1. - сходится на , - его сумма 2. - дифференцируемые и 3. - непрерывны и 4. - равномерно сходится на	Þ	1. - равномерно сходится на 2. (почленное дифференцирование)

Степенные ряды

Определение и обозначение	(1)
(2) , где - постоянные коэффициенты
Радиус сходимости. Основная теорема	Для рядов (1) и (2) число , обладающие свойствами, - радиус сходимости
1) при
2) при
Свойства степенных рядов	1. , - непрерывна 2. - сходится 3. - сходится
Алгоритм определения интервала сходимости	1.Найти или 2.Решить неравенство , получить интервал сходности 3.Исследовать сходимость ряда на концах полученного интервала

Разложение функции в степенной ряд

Ряд Тейлора (по степеням )
Ряд Маклорена (по степеням )
Алгоритм разложения функции в степенной ряд.	1. Найти все производные в точке : 2. записать ряд Тейлора для : 3. Найти интервал сходимости полученного ряда 4. Найти , где - остаточный член формулы Тейлора 5. Если

Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды

№ п/п	Функция	Разложение в ряд	Интервал сходимости